循环群

循环群只有一种基本动作，所有元素都是把它向前或向后重复若干次。若永远不回到单位元，群沿整数轴无限延伸；若最早在第 $m$ 步回到单位元，之后的运动便以 $m$ 为周期。生成元把整个群压缩成一个动作及其周期，但它不一定唯一。

这种单源结构使循环群自动成为阿贝尔群公理库阿贝尔群Abelian group · Commutative group运算还满足交换律的群，通常用加法记号表达其叠加结构。：

反过来，运算交换并不意味着存在单个生成元。交换律只允许重排多个基本方向，循环性却要求所有方向本来就是同一个方向的整数倍。

有限循环群的图像可以看成匀速走表盘。步长 $k$ 每次把位置加 $k$；它能走遍全部 $m$ 个刻度，恰好在 $k$ 与 $m$ 互素时成立。这里的最大公因数公理库最大公约数Greatest common divisor · GCD同时整除两个整数且被所有公约数整除的非负整数。精确测量步长会把表盘拆成多少个独立循环。

$(\mathbb{Z},+)$ 的生成元恰好是 $1$ 和 $-1$，每一个都能单独生成全群；一般整数 $d$ 生成的是 $d\mathbb{Z}$。在 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 中，$\overline{5}$ 是生成元，因为它与 $12$ 互素；$\overline{8}$ 的阶为 $12/gcd(12,8)=3$，只走过 $\overline{0},\overline{8},\overline{4}$。

复数中的 $m$ 次单位根

在乘法下由 $e^{2\pi i/m}$ 生成。这个例子把抽象周期变成几何旋转：乘一次生成元就是在单位圆上转过 $2\pi /m$，其子群对应只访问某组等距顶点。

Klein 四元群 $C_2\times C_2$ 是阿贝尔群却不循环，因为每个非单位元的阶都是 $2$，没有元素能生成四个元素。$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ 也不循环：$⟨(a,b)⟩$ 只落在同一直线上的点 $(na,nb)$，无法同时产生 $(1,0)$ 和 $(0,1)$。

循环群的每个子群仍循环。对无限情形，$\mathbb{Z}$ 的子群都是 $d\mathbb{Z}$；对 $G=⟨g⟩$、$|G|=m$，每个 $d\mid m$ 对应唯一的 $d$ 阶子群

有限情形中，$g^m=e\in H$，所以使 $g^r\in H$ 的最小正整数 $r$ 总是存在。若 $g^k\in H$，将 $k$ 写成 $qr+t$，其中 $0\le t<r$，就有 $g^t=g^k(g^r{)}^{-q}\in H$。由 $r$ 的最小性，$t=0$，故 $H=⟨g^r⟩$；再取 $k=m$ 得到 $r\mid m$。这也包含 $H=\{e\}$、$r=m$ 的情形。

无限情形中，非零子群 $H\le \mathbb{Z}$ 含有最小正整数 $d$，带余除法同样给出 $H=d\mathbb{Z}$；零子群则对应 $d=0$。

$m$ 阶循环群的生成元恰好是与 $m$ 互素的指数所对应的幂，因此生成元数为 Euler 函数 $\phi (m)$。

Lagrange 定理公理库拉格朗日定理Lagrange's theorem有限群的阶等于子群阶与指数之积，因此子群阶必整除群阶。给出一个反向入口：若有限群 $G$ 的阶为素数 $p$，任取 $g\ne e$，子群 $⟨g⟩$ 的阶既大于 $1$ 又整除 $p$，只能等于 $p$，所以 $G$ 必循环。这个结论由群阶的算术推出，无需预先假定交换律。

循环群是有限生成阿贝尔群结构定理的基本因子，也把周期运算转化为模算术：在 $m$ 阶群 $⟨g⟩$ 中，$g^a{g}^b=g^{a+b}$，指数按模 $m$ 相加。有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 的非零元素在乘法下构成 $q-1$ 阶循环群，选定生成元后，每个非零元素都唯一写成 $g^a$，其中 $0\le a<q-1$。从元素恢复这个指数，就是相对于 $g$ 的离散对数问题。