Fejér–Riesz 的标量谱因子分解

形式陈述

一份有限频谱被写成

Q(e^{it})=\sum_{k=-n}^{n}q_ke^{ikt}, \qquad q_{-k}=\overline{q_k},\quad q_0\in\mathbb R. \tag{1}

共轭对称使它在整个圆周上取实值，但实值不保证非负。现在想找到一个有限滤波器，使其功率恰等于这份频谱，而不是仅在几个采样频率上拟合。

令 $\mathbb T=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$ 。在复数上，允许有限负幂的 $Q(z)=\sum q_kz^k$ 称为Laurent多项式；所求因子则属于普通多项式环 $\mathbb C[z]$ 。标量Fejér–Riesz定理给出完整等价：

Q(z)\ge0\quad(z\in\mathbb T) \quad\Longleftrightarrow\quad Q(z)=|p(z)|^2\quad(z\in\mathbb T) \tag{2}

其中可取 $p(z)=\sum_{j=0}^na_jz^j$ 。右侧是圆周上的恒等式，不能把 $|p(z)|^2$ 当成整个复平面上的全纯多项式。

若 $Q\equiv0$ ，唯一的多项式因子是 $p\equiv0$ 。若 $Q\not\equiv0$ ，设它的实际阶数为 $m=\max\{|k|:q_k\ne0\}$ ；则存在唯一满足

\deg p=m,\qquad p(z)\ne0\ (|z|<1),\qquad p(0)>0 \tag{3}

的因子。这里 $p(0)>0$ 指正实数，固定了整体相位；无开圆盘零点的标量多项式常称外因子。它仍可在单位圆上有零点。只有 $Q$ 处处严格正，规范因子才在闭圆盘无零点。

系数形式就是可复核证书

展开模平方，式(2)等价于全部有限卷积等式

q_k=\sum_{j=0}^{m-k}a_{j+k}\overline{a_j}, \quad 0\le k\le m, \qquad q_{-k}=\overline{q_k}. \tag{4}

所以给出一份候选系数表后，无需在圆周上采样就能核验恒等式；至多二次量级的复数乘加足够。若还声称它是规范因子，必须另核全部根的位置与 $a_0>0$ 。系数恒等式本身不选择根。

为什么可以只取一半的根

非零常数情形直接取 $p=\sqrt{q_0}$ 。以下设 $m\ge1$ ，把负幂清除：

R(z)=z^mQ(z).

$R$ 的次数恰为 $2m$ ，常数项与最高系数均非零。共轭对称给出

R(z)=z^{2m}\overline{R(1/\overline z)}. \tag{5}

利用复数域上每个多项式都完全分裂，式(5)说明非单位圆根按 $\alpha,1/\overline\alpha$ 配对，并具有相同重数。零不可能是根。

单位圆上的根要单独处理。若 $e^{it_0}$ 是零点，则实解析函数 $t\mapsto Q(e^{it})$ 在 $t_0$ 附近非负，其第一个非零Taylor项必为正系数的偶次项；否则两侧变号或两侧为负。局部变量 $z=e^{it}$ 的导数不为零，乘子 $z^m$ 也不为零，故 $R$ 在该点的复零点重数同样为偶数。

每对不在圆上的根，取圆外那一个及其全部重数；每个圆上根，取其重数的一半。一共选出 $m$ 个根，令它们生成多项式 $h$ ，并记

h^{\#}(z)=z^m\overline{h(1/\overline z)}.

$hh^{\#}$ 与 $R$ 的次数、全部根及重数一致，因此 $R=\kappa hh^{\#}$ 。在圆周上， $z^{-m}hh^{\#}=|h|^2$ 。选一个不是零点的位置，由 $Q>0$ 得 $\kappa>0$ ；取 $p=\sqrt\kappa\,h$ 再调整单位相位，使 $p(0)>0$ ，便得到式(3)。

反向的非负性立即来自模平方。唯一性也由同一根表得到：不许开圆盘根，就强制选择每对的圆外成员；边界根的半重数也已固定，只剩整体相位与正尺度，而式(2)和 $p(0)>0$ 分别固定它们。这里没有预先假设 $Q$ 严格正，所以包含边界零点。

直觉

$Q$ 只看见一个复振幅的长度，遗失了相位。单位圆把互反共轭的两个根看成同一种长度变化：对 $\alpha\ne0$ ，

|z-\alpha|=|\alpha|\,|z-1/\overline\alpha| \qquad(|z|=1). \tag{6}

因此可以把根从圆内反射到圆外，并补偿尺度，而不改变功率。规范因子选定“所有根都在外侧”的一份答案。它不是在众多频率上寻找一个近似平方根，而是在有限根表中作兼容的整体选择。

采用规范化圆周测度 $dm=dt/(2\pi)$ ，正交性还给

\int_{\mathbb T}Q\,dm=q_0=\sum_{j=0}^{m}|a_j|^2. \tag{7}

这条总能量等式容易核，却仍不足以替代所有非零频率的式(4)。只有总能量相同的两个滤波器，功率曲线通常不同。

例子与边界

边界非负不等于有稳定逆

取

p(z)=(1-z)(1-z/2)=1-\frac32z+\frac12z^2.

式(4)给

Q(e^{it})=\frac72-\frac92\cos t+\cos2t. \tag{8}

因子根为 $1,2$ ，没有开圆盘根且 $p(0)=1$ ，所以它已经规范。功率在 $t=0$ 为零； $R=z^2Q$ 在 $z=1$ 有二重根，而 $p$ 只取一重。这里不能再要求“根严格在圆外”。

反射根 $2$ 可得到另一份同功率因子

\widetilde p(z)=(1-z)(z-1/2) =-\frac12+\frac32z-z^2.

它的根 $1/2$ 在圆内，所以不是规范因子。即使选回规范的 $p$ ，边界根 $1$ 仍使通常的稳定逆失效：若 $1/p$ 有绝对可和的幂级数系数，其级数就在闭圆盘连续，并满足 $p(z)(1/p(z))=1$ ；在 $z=1$ 代入便矛盾。

严格正的复系数例

令

p(z)=(1-z/2)(1+iz/3) =1+\left(-\frac12+\frac i3\right)z-\frac i6z^2.

两根为 $2,3i$ 。对应系数是

q_0=\frac{25}{18},\qquad q_1=-\frac59+\frac{5i}{12},\qquad q_2=-\frac i6. \tag{9}

\frac19\le Q(z)\le4\quad(z\in\mathbb T).

这是明确的全圆周余量，不声称两端都是实际极值。可以另核 $Q(1)=5/18$ 、 $Q(-1)=5/2$ 、 $Q(i)=5/9$ 。把两个倒因子展开为几何级数再卷积， $1/p$ 的系数绝对值之和至多

\frac1{(1-1/2)(1-1/3)}=3.

有限Toeplitz块通过，完整多项式仍可为负

取 $q_0=1,q_1=q_{-1}=3/4$ 。二阶矩阵

\begin{pmatrix}1&3/4\\3/4&1\end{pmatrix}\succ0,

但完整多项式 $Q(e^{it})=1+(3/2)\cos t$ 在 $t=\pi$ 取 $-1/2$ ，不可能有式(2)的因子。有限Toeplitz矩问题只要求存在某个正测度具有这几个系数；它没有宣布未知系数等于零。已给完整有限多项式则确实把更高系数定成零，两种合同不能交换。

若想用Toeplitz正性识别一个给定连续 $Q$ ，需要所有大小的相关矩阵非负：它们对应对所有多项式 $h$ 检查 $\int Q|h|^2dm\ge0$ 。本定理的有限系数证书已经给出更直接的出口，不能把“某个有限块PSD”冒充该全体量词。

有限采样也不能直接认证非负

取整数 $N\ge1$ 与实数 $\varepsilon>0$ 。在 $N$ 个等距点 $t_j=2\pi j/N$ 上，函数 $1+(1+\varepsilon)\cos Nt$ 全部取 $2+\varepsilon>0$ ；在两个采样点之间的 $t=\pi/N$ 却取 $-\varepsilon$ 。所以采样全正只能在另有导数界、频率预算与采样余量证明时成为认证方法。本页直接用式(4)，不需要从曲线颜色猜测。

整体乘单位常数不改变功率；乘 $z^k$ 也不改变圆周模，却插入原点零和时间延迟。后者会增加次数，故在固定实际阶数的规范问题中被排除。零多项式没有相位、根选择或 $p(0)>0$ 规范，必须先分支处理。

推论与应用

对实系数、非零且非负的 $Q$ ，规范因子可以选实系数：把其系数共轭得到另一份同规范因子，再用唯一性即可。写 $p(z)=a_0(1+\theta_1z+\cdots+\theta_mz^m)$ ，取白噪声方差 $a_0^2$ ，MA过程的协方差卷积恰好就是式(4)。因此这份完整有限谱可生成有限MA表示；严格正时规范根还给通常的绝对可和逆。 $Q\equiv0$ 只给零输出，应另列为退化情形，不能把零噪声方差代入所引用MA模型的正方差合同。一般复系数例只作复振幅滤波，不能不加说明地当作实值时间序列。

本页也提供有限圆周矩存在性的关键工具：若一份矩表对每个模平方给非负值，式(2)就把这条性质提升为对全部非负三角多项式非负。再用有限维分离，才能证明真的有正测度；这一步在实线Hankel矩问题中不能原样照搬。

矩阵值正三角多项式也有专门的Fejér–Riesz理论，但标量根的“反射一半”不是矩阵证明。多变量时也不能直接要求同样次数的一份模平方。这里既未实现矩阵谱因子算法，也未把标量定理扩张到任意非负函数的无限级数因子。

参考资料

Michael A. Dritschel、James Rovnyak，The Operator Fejér–Riesz Theorem，2009，§1标量定理与根配对说明，§2明确标量与算子外因子的不同接口。本文只证明标量一变量结论。
零点、系数卷积、有限块误报与严格余量的完整复算见圆周谱证书终点。

形式陈述 ​

系数形式就是可复核证书 ​

为什么可以只取一半的根 ​

边界非负不等于有稳定逆 ​

严格正的复系数例 ​

有限Toeplitz块通过，完整多项式仍可为负 ​

有限采样也不能直接认证非负 ​