停时

停时不是预先固定的钟表时刻，而是一条只阅读到目前为止记录的停止规则。规则可以随着路径变化：第一次出现正面、账户第一次触及边界、队列第一次清空，都可能发生在不同时间；但站在任意时刻回看，是否已经触发必须立刻可判定。这个信息限制正是停时与任意随机索引的区别。

把过程停住也不仅是符号技巧。$X_{n\wedge \tau }$ 把随机长度的路径转成每个确定时刻都有定义的过程，于是能先对固定 $n$ 使用条件期望，再研究 $n\to \mathrm{\infty }$ 时是否可以交换极限与期望。可选停止定理中的许多条件，正是在控制这一步会不会把概率质量漏到无穷远。

图中固定有限终点 $N\ge 6$，独立抛掷 $N$ 次公平硬币，并按次序揭示结果。记首次正面时刻为 ${\tau }_H$（没有正面时取 $\mathrm{\infty }$），最后正面时刻为 $L$（没有正面时取 $0$）。共同的前三次记录为 $T,H,T$，已经确定 ${\tau }_H=2$；但余下全部为反面与第 $5$ 次为正面这两种延续都有正概率，分别使 $L=2$ 与 $L\ge 5$。事实上，在这份前三次记录下，$\text{Pr}(L\le 3\mid {\mathcal{F}}_3)=2^{-(N-3)}\in (0,1)$，所以 $\{L\le 3\}\notin {\mathcal{F}}_3$，完成滤过也不改变这个结论。

令 $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$，其中第 $k$ 个增量在第 $k$ 步揭示。对 Borel 集 $B\subseteq \mathbb{R}$，首次到达 $B$ 的时刻

是自然滤过下的停时，因为事件 $\{{\tau }_B\le n\}$ 只需检查 $S_0,\dots ,S_n$。首次出现连续三次正面也同样是停时：到当前为止的抛掷记录已经足够判断模式是否出现。

相反，“最后一次到达零点”通常不是停时。即使此刻位于零点，也必须知道未来会不会再次返回，才能确认这是不是最后一次。固定终点前最大值首次出现的时刻也常依赖后续路径。另一个容易忽略的边界是：同一个随机时刻可相对于较丰富的滤过成为停时，却相对于较贫乏的滤过不是；停时总是关于指定信息流的概念。

滤过与适应过程理路滤过与适应过程Filtration · Adapted process · Natural filtration以递增 σ-代数表示信息积累，并刻画过程在每一时刻不使用未来信息。提供信息时间线，停时把路径驱动的停止规则放进这条时间线。若 $(M_n)$ 是鞅理路鞅Martingale · Submartingale · Supermartingale在当前全部信息下，下一步条件均值等于当前值的可积适应过程。，则停止过程 $(M_{n\wedge \tau })$ 仍是鞅；但从这一事实走到 $\mathbb{E}{M}_{\tau }=\mathbb{E}{M}_0$ 还需要有界性、一致可积等额外条件，详见可选停止定理理路可选停止定理Optional stopping theorem · Optional sampling theorem在足以控制随机停止与极限交换的条件下，鞅的期望在停时前后保持不变。。

首次到达时间把概率问题转成边界问题，广泛用于 gambler's ruin、随机游走、排队系统和序贯检验。算法中“运行到证书出现”为止也常形成停时，不过期望运行时间与几乎处处有限仍须单独证明。

概率程序终止理路概率程序的几乎必然终止Almost-sure termination区分所有运行终止、几乎必然终止和有限期望时间，用几何等待与指数工作量构造可核算的边界。把终止步数视为可取无穷的停时。$\text{Pr}(T<\mathrm{\infty })=1$ 只要求存活尾概率趋零，$\mathbb{E}T<\mathrm{\infty }$ 则要求尾概率可求和；指数工作量与几何发生概率的组合给出两者分开的可核算例子。