覆叠变换

把覆叠想成局部重合的多层地图。覆叠变换允许在上层换位置，而底图上看到的位置始终不变。局部层可以编号，绕着底空间走一圈时编号却可能交换，因此能延伸到全空间的换层方式受到整体绕行的约束。

一个点如何决定整个变换 ​

当 $E$ 道路连通时，取一条从 $e_0$ 到 $e$ 的道路 $\gamma$。$h\circ \gamma$ 是 $p\circ \gamma$ 的提升，其起点为 $h(e_0)$；提升唯一性理路覆叠提升性质Lifting property for covering spaces路径与同伦在指定起点后可唯一提升到覆叠空间。便确定了它的终点 $h(e)$。所以指定 $h(e_0)$ 后，至多有一个覆叠变换与之相符。特别地，固定任意一点的覆叠变换只能是恒等映射。

更一般的连通总空间也有同样结论，可用两个提升的相等点集既开又闭来证明；道路论证本身则必须保留道路连通假设。

对 $p:\mathbb{R}\to S^1$、$p(t)=e^{2\pi it}$，等式 $p(h(t))=p(t)$ 意味着 $h(t)-t\in \mathbb{Z}$。左边是连续函数，实线连通而整数离散，所以它恒为某个整数 $n$。故全部覆叠变换恰为 $h_n(t)=t+n$，复合对应整数加法。

对正整数 $n$，覆叠 $p:S^1\to S^1$、$p(z)=z^n$，商 $h(z)/z$ 必取值于有限个 $n$ 次单位根，连续性再次迫使它恒定。因此覆叠变换为 $h_k(z)=e^{2\pi ik/n}z$，群是 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。这不仅展示一些变换，也证明没有遗漏其他变换。

连通假设不能丢掉。取平凡三层覆叠 $B\times \{1,2,3\}\to B$，交换第 $2,3$ 层而固定第 $1$ 层就是非恒等的覆叠变换，却固定第一层的每个点。

三层也可能没有非平凡换层对称 ​

取底空间为两个圆的楔和，基本群为 $F(a,b)$。让三个纤维点上的回路右作用为 $a=(12)$、$b=(123)$；带标签覆叠图理路Schreier 图与自由群覆叠Schreier graph covering · Schreier coset graph · 自由群的陪集覆叠图将自由群的右作用实现为带标签的覆叠多重图，逐顶点验证正反方向局部双射，并由读词终点识别子群、连通性与基点保持的图同构。能把这两张置换表实现为一个连通三层覆叠。

任何覆叠变换在纤维上的置换 $c$ 都必须同时与这两张表交换。与三轮换 $b$ 交换的置换由 $c(1)$ 决定，只有 $1,b,b^2$；其中 $b$ 与 $b^2$ 都不与 $a$ 交换。因此这里只有恒等覆叠变换：

三个纤维点仍可通过底空间回路的提升互相到达；只是这些绕行置换不能整体延伸为保持投影的换层自同胚。单值化像在本例是六阶对称群，Deck群却是平凡群，两者回答的是不同问题。

从基点1读 $ba$ 会返回1，而读 $ab$ 到达3。因此稳定子 $H$ 包含 $ba$，不包含 $ab$。由于 $b^{-1}(ba)b=ab$，$H$ 不正规，正好解释为何不能把本例的Deck群写成 $F(a,b)/H$。

设 $B$ 道路连通且局部道路连通，$E$ 道路连通。选基点后，记 $G={\pi }_1(B,b_0)$、$H=p_{\ast }{\pi }_1(E,e_0)$，则

其中 $N_G(H)=\{g\in G:gH{g}^{-1}=H\}$ 是正规化子。只有当 $H$ 正规时，才可把右边写成整个商群 $G/H$；此时称覆叠正规，其变换群在纤维上传递。

对万有覆叠理路万有覆叠Universal covering space总空间单连通的覆叠空间，在标准局部条件下支配所有连通覆叠。，$H$ 为平凡子群，因而覆叠变换群同构于基本群理路基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。，具体标识依赖基点及左右作用约定。这些变换通过评价给出群作用理路群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。 $(h,e)\mapsto h(e)$；每条纤维在此作用下保持不变，连通总空间上的作用还由前面的唯一提升论证知是自由的。在非正规覆叠中，层数不能直接当作变换群大小。

用纤维作用证明正规化子公式 ​

以下仍假设 $B$ 道路连通且局部道路连通、$E$ 道路连通。这里讨论的是已经给定的覆叠，证明无需再加“底空间半局部单连通”；那一条件用于从任意子群构造覆叠的存在定理。

采用纤维上的单值化右作用理路覆叠的单值化作用Monodromy action of a covering · Covering monodromy · 覆叠的纤维作用由回路提升定义纤维上的右作用，固定路径拼接与置换复合次序，并用轨道、稳定子和陪集分别识别连通分量、闭提升与覆叠层数。：群乘法 $gh$ 表示先走 $g$，再走 $h$，点的作用满足 $(e\cdot g)\cdot h=e\cdot (gh)$。纤维据此标成右陪集集合 $H\mathrm{\setminus }G$，点 $e_0\cdot g$ 对应 $Hg$。

先证明，覆叠变换恰好对应纤维的 $G$ 等变双射。若 $f$ 为覆叠变换，把一条提升道路复合 $f$ 后仍是同一底空间道路的提升。起点变成 $f(e)$，提升唯一性便给出

所以限制到纤维得到等变双射；前面的“一个点决定整个变换”说明限制映射是单射。

反过来，给定纤维的等变双射 $c$，设 $e_1=c(e_0)$。等变性及 $c$ 的单射性说明 $e_0$ 与 $e_1$ 的稳定子相同：若一个回路固定其中一点，就固定另一点。由闭提升判据，这正是

把 $p:E\to B$ 当作待提升映射，使用映射提升判据理路覆叠提升性质Lifting property for covering spaces路径与同伦在指定起点后可唯一提升到覆叠空间。，得到保持投影且将 $e_0$ 送到 $e_1$ 的连续映射 $f:E\to E$。反向再提升一次，得到把 $e_1$ 送回 $e_0$ 的 $k$。两复合分别与恒等映射是同一起点的提升，故 $kf=fk=\mathrm{id}$。因此 $f$ 确实是自同胚；其纤维限制在 $e_0$ 与 $c$ 相同，又同为等变映射，所以处处相同。这一步也交代了为什么任意纤维置换不能直接当作全局覆叠变换。

现在只需求右 $G$ 集合 $H\mathrm{\setminus }G$ 的等变双射。这样的 $c$ 由 $c(H)=Hn$ 决定，因为

等变双射保持稳定子，而 $H$ 的稳定子是 $H$，$Hn$ 的稳定子是 $n^{-1}Hn$，因此必须有 $n^{-1}Hn=H$，即 $n\in N_G(H)$。

反之，若 $n$ 正规化 $H$，公式 $c_n(Hg)=Hng$ 与陪集代表无关：把 $g$ 换成 $hg$、$h\in H$ 时，$nh=(nh{n}^{-1})n$ 中的第一个因子仍在 $H$。其逆是 $c_{n^{-1}}$。普通函数复合满足

核为 $H$，从而得到原先的群同构 $\mathrm{Deck}(p)\cong N_G(H)/H$。把右作用改成左作用时必须连同陪集与复合约定一起调整，不能只翻转一个公式。

正规性与有限层数的可检验后果 ​

Deck群把基点陪集 $H$ 送到的点恰为 $Hn$、$n\in N_G(H)$。它在整个纤维上传递，当且仅当 $N_G(H)=G$，亦即 $H$ 正规。这证明了“子群正规”和“同一纤维的任一点能由某个覆叠变换送到另一指定点”的等价性。

若总空间道路连通且层数为有限数 $n$，Deck作用自由，每个轨道的大小都等于群阶，所以 $|\mathrm{Deck}(p)|$ 整除 $n$，且不超过 $n$。等于 $n$ 当且仅当该覆叠正规。三层非正规例中的群阶一满足此结论；只用层数推出群阶三则不成立。

对有限的Schreier覆叠表理路Schreier 图与自由群覆叠Schreier graph covering · Schreier coset graph · 自由群的陪集覆叠图将自由群的右作用实现为带标签的覆叠多重图，逐顶点验证正反方向局部双射，并由读词终点识别子群、连通性与基点保持的图同构。，可以枚举纤维置换，逐个检查它与每个生成元表是否交换。通过者就是全部Deck变换，而不只是若干候选对称。由覆叠分类理路覆叠空间的子群分类Classification of covering spaces · Subgroup classification of connected coverings · 覆叠分类定理在明确局部条件下把带基点连通覆叠与基本群子群双向对应，构造每个子群的覆叠，并区分忘基点的共轭分类、覆叠同构和总空间同胚。看，同一个无基点覆叠允许改变纤维基点并共轭稳定子；这不会凭空增加其Deck群。