Schreier 图与自由群覆叠

顶点附近要同时保存正反方向 ​

在玫瑰图的公共顶点附近，每个圆贡献两个不同的半边方向：一个正向离开，一个反向离开。上层顶点 $v$ 有唯一正向 $s$ 边，因为输入给出了 ${\sigma }_s(v)$；它也有唯一反向 $s^{-1}$ 边，因为 ${\sigma }_s$ 为双射，唯一入边来自 ${\sigma }_s^{-1}(v)$。

因此两边的所有带标签半边一一对应。取每条圆两端各一小段组成的开星形邻域，它的完整逆像按各个顶点分成互不相交的开星，每一个都同胚地投影到底部开星。边内部则直接由开区间的复制片覆盖。这验证的是整个逆像的均匀分片，而不只是某条边上的局部可逆。

即使一条边是自环，其两个端部仍是两个不同半边方向。若 $S$ 或 $V$ 无限，同样按每条边的小区间作图册，并用CW的逐胞腔拓扑判断开性；有限图的数组存储与边数估算才需要另加有限性。

为什么退一步会回到原位置 ​

若先读 $s$，再读 $s^{-1}$，第二步沿刚才那条边反向返回。每个标签的唯一性排除了选错另一条同标签入边的可能。因此删除相邻 $s{s}^{-1}$ 不改变终点，任意词的终点只依赖它在自由群中的约化元素。

对陪集图，从 $H$ 出发按代表词 $g$ 行走便到达 $Hg$，所以它连通。一般作用的两个顶点可由边路连接，当且仅当一个可由某个自由词作用到另一个，正是位于同一轨道。

纤维单值化理路覆叠的单值化作用Monodromy action of a covering · Covering monodromy · 覆叠的纤维作用由回路提升定义纤维上的右作用，固定路径拼接与置换复合次序，并用轨道、稳定子和陪集分别识别连通分量、闭提升与覆叠层数。将这张图上的回路提升恢复为原来的右作用，因此稳定子与闭提升子群吻合。拓扑图中的回路也可按相邻小星和边区间细分，端点固定同伦到有限边路；读词并非只检查一类特别画得整齐的回路。

三个顶点、六条正边 ​

取 $S=\{a,b\}$、$V=\{1,2,3\}$，规定

全部正边是：

前两条 $a$ 边是两条不同的区间：一条正向从1到2，另一条正向从2到1。它们不是同一条边的两种行走方向，因为后一种应带标签 $a^{-1}$。第三条 $a$ 边为自环，另外三条 $b$ 边形成有向三角形。

每个顶点恰有一个 $a$ 出口、一个 $a$ 入口、一个 $b$ 出口和一个 $b$ 入口，因此每个小星都正确覆盖底部四个方向。图连通，总层数为三。

从基点1读 $ba$，先到2再回1；读 $ab$，先到2再到3。若 $H$ 为基点稳定子，则 $ba\in H$ 而 $ab\notin H$。又有 $b^{-1}(ba)b=ab$，说明 $H$ 非正规。这是在完整图上核验的子群区别，不是仅凭图画不对称作判断。

图中两条相反的 $a$ 正边分别编号，$b_1,b_2$ 只因被选作树边而涂绿，标签仍是 $b$。一条正边的反向行走没有再画一条新边。

两种常见的错误压缩 ​

若将两条相反的正向 $a$ 边折成一条无向边，顶点1就只剩一个相关半边，无法同时覆盖底部的 $a$ 和 $a^{-1}$ 两个方向。画面虽然更简洁，却已经改变覆叠。

若只规定每个标签有一条出边，但允许两点都指向同一终点，则入边不再唯一。例如在两个顶点上规定 $a:1\mapsto 2,2\mapsto 2$，顶点1没有 $a$ 入边，顶点2有两条。它描述一个非可逆的状态转移，不能定义自由群作用，也不能按上述投影成为覆叠。

一个无限陪集图仍可局部完整 ​

考虑同态 $F(a,b)\to \mathbb{Z}$，令 $a\mapsto 1,b\mapsto 0$，取其核 $H$。右陪集可由整数 $k$ 标记：$a$ 边从 $k$ 到 $k+1$，每个顶点另有一条 $b$ 自环。

这是一条双向无限延伸的线，每个整数点挂一个圆。每个顶点的四个方向仍与底部一一对应，所以它是无限层覆叠；无穷层数没有破坏局部覆叠条件。词属于 $H$ 恰好表示 $a$ 的指数和为零，而不是要求整个自由词约化为空。

从有限置换表作可检查的输入验证 ​

若有 $n$ 个顶点、$r$ 个生成元，先检查每张表是否为 $\{1,\dots ,n\}$ 的置换，再同时保存逆表。需要 $O(n(r+1))$ 次数组操作和存储；得到 $nr$ 条独立正边。每条自环也算一条边，两个同端点的平行边分别计数。

读长度为 $m$ 的词只需 $m$ 次查表。遍历生成元及逆元边可求所有轨道，成本 $O(n(r+1))$。这给有限指数子群一个直接的成员判定证书，但不能声称任意以无限方式指定的子群都已经附带这样一张有限表。

比较两张图必须同时重标记全部生成元 ​

设两份表为 ${\sigma }_s$ 与 ${\tau }_s$。顶点双射 $c$ 给出保持边标签的图同构，当且仅当

若还要求基点保持，就再加 $c(v_0)=w_0$。同一双射必须用于所有表，这与覆叠分类理路覆叠空间的子群分类Classification of covering spaces · Subgroup classification of connected coverings · 覆叠分类定理在明确局部条件下把带基点连通覆叠与基本群子群双向对应，构造每个子群的覆叠，并区分忘基点的共轭分类、覆叠同构和总空间同胚。的基点层次一致。

固定一张图时，上式成为 $c{\sigma }_s={\sigma }_{s}c$，并使顶点置换按边参数唯一延伸为覆叠变换。对三顶点例，能同时与 $(12)$、$(123)$ 交换的只有恒等置换，所以其Deck群平凡。

进一步选择生成树后，Nielsen–Schreier定理理路Nielsen–Schreier 定理与自由基重写Nielsen–Schreier theorem · Nielsen-Schreier theorem · Schreier index formula用Schreier图生成树构造任意自由群子群的自由基，建立可逆的读词重写证明，并在有限指数时推出秩公式及完整三层算例。为每条非树正边赋一个闭词，并证明这些词自由生成 $H$。三顶点六边例将得到四个自由基元；边数与生成树数目在这一步才承担秩计算，而不能在尚未验证覆叠和连通性前直接套公式。