覆叠空间的子群分类

两个覆叠有同一子群，为什么就相同 ​

对已经给定的两个连通覆叠，局部道路连通由局部同胚从 $X$ 提升到各个总空间；总空间连通因而也是道路连通。将 $p_1:E_1\to X$ 看成要提升到 $E_2$ 的一般映射，提升判据理路覆叠提升性质Lifting property for covering spaces路径与同伦在指定起点后可唯一提升到覆叠空间。恰要求

若两子群相等，可以向两个方向提升，得到保持基点的 $\mathrm{\Phi }:E_1\to E_2$ 与 $\mathrm{\Psi }:E_2\to E_1$。复合 $\mathrm{\Psi }\mathrm{\Phi }$ 与恒等映射都是 $p_1$ 的提升，且在基点相同；唯一性迫使它们处处相同。同理 $\mathrm{\Phi }\mathrm{\Psi }=\mathrm{id}$，所以二者为互逆同胚。

这证明分类没有把不同带基点覆叠混为一谈。它只使用既有覆叠的提升性质；“每个子群都能造出覆叠”则是另外一半，需要下面的存在构造。

用万有覆叠实现任意子群 ​

由空间的三个条件，已有万有覆叠理路万有覆叠Universal covering space总空间单连通的覆叠空间，在标准局部条件下支配所有连通覆叠。 $\tilde{X}\to X$。采用其路径类模型：一个点为从 $x_0$ 出发的路径类 $[\gamma ]$，投影记终点。对 $h\in H$，在前面接上基于 $x_0$ 的回路，定义

这些变换保持投影，复合对应回路乘法，并将每个局部片同胚地送到另一片。如果 $h$ 固定某个路径类，接上逆路径便知 $h=1$，所以作用自由。

按这个 $H$ 作用取商，赋予商拓扑理路商拓扑Quotient topology由满射逆像判据定义的最细拓扑，用来把指定点族连续地粘合为点。：

还须验证这是覆叠，而不能只因写出了商就直接宣布成功。

取一个道路连通且其回路在 $X$ 中可缩的小开集 $U$。万有覆叠在 $U$ 上分成互不相交的局部片。$H$ 将这些片相互置换；若某个 $h$ 把一片保持为自身，因为投影在该片上单射，它就固定该片的每个点，故 $h=1$。

因此每一片在商中仍单射，并且映到 $U$ 的同胚没有改变。商中该片的像是开集：它的逆像为全部 $H$ 平移片的并，开性由商拓扑给出。同一片轨道给同一商片，不同轨道给不交商片，于是 $p_H^{-1}(U)$ 确实均匀分片。$\tilde{X}$ 道路连通，它的商 $E_H$ 也道路连通。

取基点为常值路径类的轨道。底回路 $\gamma$ 的万有提升终点是 $[\gamma ]$，在商中回到基点恰好表示 $[\gamma ]\in H$。由闭提升与稳定子对应理路覆叠的单值化作用Monodromy action of a covering · Covering monodromy · 覆叠的纤维作用由回路提升定义纤维上的右作用，固定路径拼接与置换复合次序，并用轨道、稳定子和陪集分别识别连通分量、闭提升与覆叠层数。，$p_H$ 的像子群正是 $H$。至此每个子群都已实现。

为什么忘记基点只留下共轭类 ​

同一连通覆叠中的纤维作用传递，所以任意另一上层基点可写成 $e_0\cdot g$。前页直接计算了其稳定子为 $g^{-1}Hg$。因此移动基点会共轭子群，不会改变覆叠本身。

反过来，若两个子群共轭，就在其中一个覆叠上改选上层基点，使两个像子群相等，再用已经证明的带基点分类得到同构。若原本已有不保上层基点的覆叠同构，则把源基点的像选为目标基点，同样归入这个论证。两方向合起来，才得到忘基点后的完整共轭分类。

圆周的全部连通覆叠 ​

${\pi }_1(S^1,1)\cong \mathbb{Z}$，而整数加法群的子群恰为 $n\mathbb{Z}$，$n\ge 0$。当 $n\ge 1$，对应

层数为 $n$。当 $n=0$，子群为零，对应实线指数万有覆叠 $t\mapsto e^{2\pi it}$，层数无限。

这些熟悉例子现在构成完整列表：不是仅展示几种可能，因为所有子群都已列尽。整数群交换，共轭不改变子群，所以忘掉上层基点不会再合并不同的 $n$。

对正整数 $m,n$，从 $m$ 层覆叠到 $n$ 层覆叠的保持基点映射存在，当且仅当 $m\mathbb{Z}\subseteq n\mathbb{Z}$，即 $n\mid m$。令 $m=kn$，具体映射为 $F(z)=z^k$，可检查 $p_n(F(z))=z^{kn}=p_m(z)$；它自身有 $k=[n\mathbb{Z}:m\mathbb{Z}]$ 层。

同一三层覆叠，三个基点可能给不同子群 ​

在两个圆楔和的三层覆叠中，令两个生成回路的右作用为 $a=(12)$、$b=(123)$。从标签1出发，$ba$ 闭合，而 $ab$ 到达标签3，因此

将起点沿 $b$ 移到标签2后，稳定子变为 $H_2=b^{-1}{H}_{1}b$。现在 $ab$ 从标签2依次到1、2，属于 $H_2$；而 $ba$ 不闭合，所以两子群不同。

它们对应同一个无基点覆叠，却对应不同的带基点同构类；若真有保持投影、将标签1送到标签2的同胚，就应迫使两像子群相等。覆叠变换群理路覆叠变换Deck transformation · Covering transformation保持覆叠投影不变的总空间自同胚。所衡量的正是哪些换起点方式能够延伸成这样的全局同胚。

图中列的是两个圆楔和上的全部三层连通覆叠类；每个圆点表示选择哪一个纤维点作基点，箭头表示Deck变换可以把两个选择对应起来，不是覆叠图本身的边。四个正规类各产生一个带基点类，三个非正规类各产生三个，合计十三个。完整分类计数和置换枚举在覆叠证书终点中逐步核验。

分类的对象不是上层空间的抽象形状 ​

圆周的二层与三层覆叠，总空间彼此同胚，甚至可取完全相同的圆周。它们仍不同构为覆叠，因为保持投影的同胚会在每条纤维上给出双射，而纤维大小分别为二和三。

同样，半局部单连通条件不能从“每个点附近都能走道路”替代得到。万有覆叠页中的Hawaiian earring已经说明：在不满足该局部条件的空间上，平凡子群可能没有对应的经典单连通覆叠。本页关于任意子群的存在性因此不能原样移用。

子群包含给出覆叠之间的层级 ​

一般映射提升判据先给出 $H\subseteq K$ 与唯一基点映射 $F$ 的等价。它还必须满射：在 $E_K$ 中选从基点到任意点的道路，将其投影提升到 $E_H$；再经 $F$ 映回去，由唯一提升性得到原道路，因而其终点在 $F$ 的像中。

取同时均匀覆叠于 $p_H,p_K$ 的小道路连通邻域，$F$ 将每张源片同胚地送到一张目标片。全部映到同一目标片的源片组成完整逆像，所以 $F$ 本身为覆叠。基点上方的纤维由 $H$ 在 $K$ 中的右陪集组成，层数便是 $[K:H]$。这一局部检查补上了“连续且保持投影”到“本身为覆叠”的步骤。

把抽象分类变成有限证书 ​

对自由群底空间，Schreier覆叠图理路Schreier 图与自由群覆叠Schreier graph covering · Schreier coset graph · 自由群的陪集覆叠图将自由群的右作用实现为带标签的覆叠多重图，逐顶点验证正反方向局部双射，并由读词终点识别子群、连通性与基点保持的图同构。将子群信息保存成每个生成元的一组纤维置换。保持基点的同构允许重新编号，但须固定指定标签；忘基点后才允许任意重标记。不同生成元必须同时采用同一个编号变换。

Nielsen–Schreier定理理路Nielsen–Schreier 定理与自由基重写Nielsen–Schreier theorem · Nielsen-Schreier theorem · Schreier index formula用Schreier图生成树构造任意自由群子群的自由基，建立可逆的读词重写证明，并在有限指数时推出秩公式及完整三层算例。进一步从这张图选生成树，给出像子群的自由基。于是一个有限覆叠可以交付“置换表、局部边检查、基点、闭词判定和自由基”，分类不再只停留在存在某个子群的抽象陈述上。