测地曲率与曲面内转弯

骑车绕着圆柱匀速盘旋，在空间里轨迹显然弯曲；如果把圆柱展开，轨迹却是一条直线。空间弯曲来自纸面本身弯了，骑手在纸面内部没有打方向。$k_n$ 读前一种变化，$k_g$ 读后一种转弯。

一次正交分解完成推导 ​

$T\cdot T=1$ 求导得 $T_s\perp T$。在它的二维正交补中用 $JT,n$ 展开，系数就是点积，勾股定理给 ${\kappa }^2=k_g^2+k_n^2$。一般参数有

与 $n$ 点积消去前两项；另取 $({\gamma }^{\prime }\times {\gamma }^{″})\cdot n$，利用 $T\times (n\times T)=n$，得到 $v^3{k}_g$。这证明计算公式，也看出切向加速 $v^{\prime }T$ 不属于几何转弯。

在诱导度量下，Levi–Civita 导数就是环境导数的切向投影：该投影保持内积，且坐标混合偏导相等使其无挠，因此由唯一性识别。所以

单位速曲线为测地线理路测地线Geodesic由平行速度和固定端点能量的一阶变分刻画测地线，区分仿射参数、长度驻定与全局最短，并为 Jacobi 第二变分构造精确固定端点的变分。当且仅当 $k_g=0$。这段与抽象联络的连接是解释，不是计算定义的硬前置。

圆柱螺旋线在曲面内不转弯 ​

令 $\gamma (t)=(R\cos t,R\sin t,bt)$，外法向 $n=(\cos t,\sin t,0)$。有 $v^2=R^2+b^2$，${\gamma }^{″}=-Rn$，所以

在展开坐标 $(x,z)=(Rt,bt)$ 中是一条直线，与局部等距理路曲面的局部等距Local isometry of surfaces · 圆柱展开用保持第一基本形式刻画局部等距，验证圆柱展开，并区分曲线路长、区域内距离和全局距离。图像一致。$b=0$ 的水平圆同样是圆柱测地线；“在空间不是直线”不妨碍面内没有转弯。

球面的纬线为何只有赤道不转弯 ​

半径 $R$ 球面取外法向。固定余纬 $\theta \in (0,\pi )$，沿经度增加方向走

速率 $v=R\sin \theta$，单位切向 $T=(-\sin \varphi ,\cos \varphi ,0)$。在 $\varphi =0$，

因此（旋转对称使全部点结果相同）

代入可验 ${\kappa }^2=k_n^2+k_g^2$。只有赤道 $\theta =\pi /2$ 给 $k_g=0$；北半球向东走时需向左转，$k_g>0$，南半球则为负。两极不在这条纬线参数的正则范围内。

“不转弯”不保证任意长段最短 ​

大圆是球面测地线，但绕行超过半圈的弧不是两端之间的最短路；反向短弧更短。测地条件是局部微分条件，全局最短性还要比较所有候选路线。非恒速重参数的同一轨迹也未必满足仿射参数方程 ${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }}\dot{\gamma }=0$，尽管单位速化后仍为测地线。

对北极球冠 $0\le \theta \le {\theta }_0$，其中 $0<{\theta }_0<\pi$，边界的诱导方向为经度增加。边界长度 $2\pi R\sin {\theta }_0$，故

球冠面积 $2\pi R^2(1-\cos {\theta }_0)$，乘 $K=1/R^2$ 得 $2\pi (1-\cos {\theta }_0)$。两项相加为 $2\pi$，恰好核验Gauss–Bonnet理路Gauss–Bonnet 定理Gauss–Bonnet theorem从正向标架的联络形式推出局部转角公式，再由三角剖分证明整体 Gauss–Bonnet；显式计算球面两图的 Euler 数和嵌入环面的正负曲率抵消。的圆盘情形。这是对定理的具体复算，完整局部转角与全局三角剖分证明保留在原页。

在平面标准定向下，$k_n=0$，$k_g$ 就是有符号平面转角率。圆环外圈逆时针给 $\int k_{g}ds=2\pi$，内圈顺时针给 $-2\pi$，总和为零，与 Euler示性数零相符。边界方向由外向量优先理路带边界光滑流形Smooth manifold with boundary · Outward-first boundary orientation · 诱导边界定向以半空间坐标定义光滑边界，构造边界点完整切空间，并用外向量优先规则计算圆环两条边界的方向。决定，不能因为两圈形状相同就给同号。

本页保留加速度的法向与面内分解。若还需追踪曲面法向沿曲线怎样扭转，Darboux 完整标架与测地挠率理路Darboux 标架与测地挠率Darboux frame equations · Geodesic torsion · Joachimsthal constant-angle theorem补全曲面上曲线的三支Darboux标架方程，用测地挠率认证主方向、比较Frenet挠率，并判定等角交线与法向直纹面。引入 ${\tau }_g=-⟨n_s,n\times T⟩$，补全另两支箭头的导数，并用 ${\tau }_g=0$ 判定曲率线。圆柱螺旋线虽有 $k_g=0$，通常仍有 ${\tau }_g\ne 0$；空间曲率为零的直线也可能有非零测地挠率。