高斯曲率

曲面在一点沿不同切向方向有不同法曲率，其最大值与最小值是两条主曲率，高斯曲率为二者乘积。正值表示各方向同侧弯曲，负值表示鞍形，零值表示至少有一个主方向不弯。

半径 $r>0$ 的球面有 $K=1/r^2$，Euclidean 平面与圆柱面有 $K=0$，双曲平面为常负曲率。圆柱沿环向弯曲、沿轴向平直，两条主曲率的乘积为零；局部展开成平面时，其内在距离保持不变。对高于二维的流形，曲率依赖所选二维切平面，需使用截面曲率而非单一高斯标量。主曲率的符号会随法向改变，但乘积 $K$ 不变。

两张图形曲面都取诱导度量。向上单位法向给 $z=x^2+y^2$ 在原点的形算子 $\mathrm{diag}(2,2)$，故 $K=4$；$z=x^2-y^2$ 在原点则为 $\mathrm{diag}(2,-2)$，故 $K=-4$。二者的切平面都只是水平面，一阶近似完全相同，曲率差异来自二阶项。若只知道平均曲率为零，也不能推出高斯曲率为零；极小曲面常有一正一负的主曲率。

标准嵌入环面的完整计算理路Gauss–Bonnet 定理Gauss–Bonnet theorem从正向标架的联络形式推出局部转角公式，再由三角剖分证明整体 Gauss–Bonnet；显式计算球面两图的 Euler 数和嵌入环面的正负曲率抵消。从全局正交标架得到 $a=\sin vdu$，继而得到 $K=\cos v/[r(R+r\cos v)]$。乘以面积密度 $r(R+r\cos v)$ 后，只剩 $\cos v$：外侧正总曲率为 $4\pi$，内侧为 $-4\pi$。因此拓扑要求的总量为零允许曲率在局部明显非零。

Riemann 度量理路Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。通过一般 Riemann 张量在二维给出内在高斯曲率，切空间理路切空间Tangent space在一点由曲线速度或函数导子等价定义的局部线性空间。中的形算子行列式则给嵌入公式。测地线理路测地线Geodesic由平行速度和固定端点能量的一阶变分刻画测地线，区分仿射参数、长度驻定与全局最短，并为 Jacobi 第二变分构造精确固定端点的变分。的会聚与曲率相关，Gauss–Bonnet 定理理路Gauss–Bonnet 定理Gauss–Bonnet theorem从正向标架的联络形式推出局部转角公式，再由三角剖分证明整体 Gauss–Bonnet；显式计算球面两图的 Euler 数和嵌入环面的正负曲率抵消。把总曲率积分化为拓扑不变量。

从参数计算进入高斯曲率 ​

若希望先从一张参数曲面亲手计算，可由第一基本形式理路第一基本形式First fundamental form · 曲面诱导度量把曲面上切向的长度角度写成正定二次型，证明换坐标规律并计算圆柱与球的度量。、第二基本形式与形算子理路形算子与第二基本形式Shape operator · Second fundamental form · Weingarten map · Gauss map of a surface · 曲面高斯映射以S=-dn固定符号，从法向微分推出第二基本形式、度量自伴性与非正交坐标中的矩阵公式。进入，无须先学习本页的抽象曲率张量定义。对正则参数 $X(u,v)$，记两形式矩阵为 $\mathsf{g}=\left(\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right)$ 与 $\mathsf{b}=\left(\begin{array}{cc}e& f\\ f& g\end{array}\right)$，则

分母为正的Gram行列式。此式提供外在计算；其等于由度量定义的内蕴 $K$，仍须Gauss方程，并不是对矩阵取行列式便自动证明了绝妙定理。

采用本页统一的 $S=-d\nu$ 约定，半径 $R$ 球面取外法向时 $S=-(1/R)\mathrm{id}$，两个主曲率均为负，其乘积为 $1/R^2$。圆柱外法向给主曲率 $-1/R,0$。Euler公式理路法曲率、主曲率与 Euler 公式Normal curvature · Principal curvature · Euler curvature formula · 主方向从曲面上曲线的加速度定义法曲率，证明Euler公式并用广义特征值计算主方向、脐点与渐近方向。解释任意切向的法曲率；圆柱展开的显式证书理路曲面的局部等距Local isometry of surfaces · 圆柱展开用保持第一基本形式刻画局部等距，验证圆柱展开，并区分曲线路长、区域内距离和全局距离。则区分保第一基本形式与保环境形算子，亦区分片内路径距离和整曲面的全局距离。上述计算入口与原有高级内蕴入口并存。

Gauss–Codazzi 相容条件理路Gauss–Codazzi 相容条件Gauss–Codazzi equations · Gauss–Codazzi–Mainardi compatibility · 两基本形式的相容性把候选度量和第二基本形式变成三个可核验的微分条件，推导其标架矩阵残差，并分别构造Gauss与Codazzi障碍。把本页的内外曲率联系进一步变成候选两基本形式的验收：度量单独算出的 $K$ 必须与 $\det \left({\mathsf{g}}^{-1}\mathsf{b}\right)$ 相合，还须满足两条 Codazzi 方程。通过后由曲面重建定理理路两基本形式的曲面重建定理Fundamental theorem of surface theory · Bonnet surface reconstruction · 曲面基本定理用矩形上的两次线性ODE与零残差证明二维标架可积，再核验Gram矩阵、位置闭合和刚体唯一性，区分全域浸入与单射嵌入。积分出浸入；若只给光滑二维度量，零曲率展开定理理路零高斯曲率与平面展开坐标Flat metric developing map · Zero Gaussian curvature and local flatness · 零曲率的局部平坦性从任意光滑二维度量构造正交余标架，旋去闭联络后积分出平面坐标，证明K恒零的充分性并区分单点、单值与单射。证明邻域上 $K\equiv 0$ 恰是局部等距到平面的条件，单点为零仍不够。