环面仿射映射的周期点

形式陈述

把实数坐标逐项按整数取模，得到 $d$ 维环面

\mathbb T^d=\mathbb R^d/\mathbb Z^d,\qquad d\ge1,

并赋予商拓扑。给定整数矩阵 $A\in M_d(\mathbb Z)$ 与向量 $b\in\mathbb R^d$ ，定义仿射自映射

f([x])=[Ax+b]. \tag{1}

若把 $x$ 换成 $x+z$ ，输出只差整数向量 $Az$ ，所以定义与代表元无关。 $b$ 也只需按模整数给出。当 $b=0$ 时称为整数线性环面自映射；当 $\det A=\pm1$ 时，整数逆矩阵给出同胚。

对正整数 $n$ ，令

b_n=(I+A+\cdots+A^{n-1})b, \qquad N_n=A^n-I.

逐次代入得到 $f^n([x])=[A^nx+b_n]$ ，所以迭代的固定点集合为

\operatorname{Fix}(f^n) =\{[x]:N_nx\equiv-b_n\pmod{\mathbb Z^d}\}. \tag{2}

这些点的最小周期整除 $n$ ，不一定等于 $n$ 。

给 $N_n$ 一份整数Smith证书

UN_nV=D=\operatorname{diag}(s_1,\ldots,s_r,0,\ldots,0), \quad 0<s_1\mid\cdots\mid s_r, \quad U,V\in\operatorname{GL}_d(\mathbb Z). \tag{3}

令 $c=-Ub_n$ ，则答案精确分成以下三类：

若某个 $i>r$ 满足 $c_i\notin\mathbb Z$ ，固定点集合为空
否则有 $s_1\cdots s_r$ 个连通分支，每个同胚于 $\mathbb T^{d-r}$
特别地， $r=d$ 时恰有 $|\det N_n|$ 个点，对任意平移 $b$ 都成立

当 $r=0$ 时空乘积取一：若约束相容，整张 $\mathbb T^d$ 都是固定点。不能把零行列式解释为零个固定点。

直觉

在实空间解 $N_nx=-b_n$ 只会得到少数解或无解；环面上允许右侧多加任意整数向量，所以同一个线性系统可以留下许多不同的模一解。Smith换基把彼此混合的整数约束分开，每个非零 $s_i$ 留下一个 $s_i$ 重周期，每个零因子则检查相容性并留下自由圆周方向。

这既是计数方法，也是列出位置的方法。只知道行列式绝对值能在满秩时给点数，却不能在秩亏时说明自由方向，更不能代替平移项的相容性检验。

坐标公式与完整性证明

令 $x=Vy$ 。整数可逆的 $U,V$ 都在环面上诱导自同构，故式(2)等价于

Dy\equiv c\pmod{\mathbb Z^d}.

对 $i\le r$ ，全部解为

y_i=\frac{c_i+j_i}{s_i}\pmod1, \qquad j_i=0,1,\ldots,s_i-1. \tag{4}

若两个编号给同一模一坐标，则 $s_i$ 整除它们之差；在指定范围内只能相同，因此不重。反过来，任何解都满足 $s_iy_i-c_i\in\mathbb Z$ ，将这个整数按 $s_i$ 取余就得到式(4)，因此不漏。

对 $i>r$ ，方程是 $0\equiv c_i\pmod1$ 。不相容时无解；相容时 $y_i$ 完全自由。将式(4)与自由坐标组合，再乘 $V$ ，便得到前述全部分支。这也证明各分支的连通性与数量，而不只是计算一个形式乘积。

若 $b$ 的坐标有理，这是一份全有理证书。若允许任意实数黑箱，判定 $c_i$ 是否严格为整数本身可能没有有限算法；定理的集合分类不能被浮点“接近整数”自动代替。

平移什么时候可整体消掉

若 $I-A$ 在实数上可逆，取 $p=(I-A)^{-1}b$ 。以 $\tau_p([x])=[x+p]$ 表示平移，则

\tau_p^{-1}f\tau_p([x])=[Ax],

因为 $Ap+b-p=0$ 。因此这时仿射映射与线性映射共轭，所有周期点只是整体平移，最小周期也保持不变。

若 $I-A$ 奇异，不能这样求逆；有无固定点要回到式(3)的相容性。即使某个迭代有固定点，原映射也可能完全没有固定点。

例子与边界

同一矩阵的十二个二次迭代固定点

取

A=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix},\qquad b=0.

其平方及差为

A^2=\begin{pmatrix}11&8\\4&3\end{pmatrix},\qquad N_2=\begin{pmatrix}10&8\\4&2\end{pmatrix}.

选

U=\begin{pmatrix}1&-2\\2&-5\end{pmatrix}, \qquad V=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}, \qquad UN_2V=\operatorname{diag}(2,6). \tag{5}

两变换的行列式为 $-1,1$ 。因此全部固定点写成

[x]=\left[\left(\frac{j_0}{2}-\frac{j_1}{3},\frac{j_1}{6}\right)\right], \qquad 0\le j_0<2,\quad0\le j_1<6. \tag{6}

它们的群结构为 $\mathbb Z/2\oplus\mathbb Z/6$ ，并非一个十二阶循环群。

用共同分母六写点为 $(a,b)/6$ ，可将十二点逐一分成两条一周期轨道和五条二周期轨道：

\begin{gathered} (0,0),\quad(0,3),\\ (1,1)\leftrightarrow(5,2),\quad (1,4)\leftrightarrow(5,5),\quad (2,2)\leftrightarrow(4,4),\\ (2,5)\leftrightarrow(4,1),\quad (3,0)\leftrightarrow(3,3). \end{gathered} \tag{7}

式(7)所有坐标都还要除以六。逐点乘 $A$ 并模六取余，即可核验箭头。直接说“十二个二周期点”会把前两个不动点算错；直接除以二得到六条轨道也不正确。

方形左右、上下边分别识别；蓝色编号1–5与右表对应，同编号的两点构成一条轨道；完整坐标和方向由式(7)核验。

零行列式：可以是一族圆周，也可以为空

先取线性剪切

A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad b=0.

由于 $A^n-I=\bigl(\begin{smallmatrix}0&n\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$ ，式(2)只要求 $nx_2\in\mathbb Z$ 。因此 $\operatorname{Fix}(f^n)$ 是 $n$ 条圆周

x_2=0,1/n,\ldots,(n-1)/n, \qquad x_1\in\mathbb R/\mathbb Z.

行列式为零，但不动点非空且无限。

保持同一个 $A$ ，改取 $b=(0,1/2)$ 。一次固定方程的第二行要求 $0\equiv-1/2$ ，所以无不动点；二次迭代却有

A^2-I=\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix},\qquad b_2=(1/2,1),

故 $x_2=1/4$ 或 $3/4$ ， $x_1$ 任意。两条圆周都由最小周期二的点组成，因为一次固定点已经排除。平移使同一个线性部分产生不同的固定集合，不能在秩亏时丢掉它。

有理网格与整个环面不是同一份输入

对线性映射，分母整除 $m$ 的有理点组成有限网格 $(\mathbb Z/m)^d$ 。整数矩阵保持这份网格；若 $\det A=\pm1$ ，它在每个网格上都是置换，所以每个有理点都是周期点。对一般非可逆映射则只保证最终进入循环：圆周倍映射将 $1/2$ 送到零后永远停住， $1/2$ 本身并不周期。

仍在 $b=0$ 的线性情形，若 $A^n-I$ 对每个正整数 $n$ 都非奇异，则任意周期点由式(4)可知有理。没有这个条件，剪切的固定圆周中就有第一坐标无理的周期点。固定在某个分母网格上枚举，也可能漏掉别的分母上的周期点，不能冒称得到整个环面的答案。

推论与应用

从固定点数恢复最小周期与轨道

设所讨论各次固定点集合有限，记

F_n=|\operatorname{Fix}(f^n)|,\qquad P_n=\#\{x:x\text{ 的最小周期为 }n\},\qquad O_n=\#\{\text{长度恰为 }n\text{ 的轨道}\}.

每个被 $f^n$ 固定的点都有一个最小正周期 $d$ 。对 $n$ 除以 $d$ ，余数也会固定该点；最小性迫使余数为零，所以 $d\mid n$ 。不同最小周期的点集不交，故

F_n=\sum_{d\mid n}P_d.

由约数偏序的Möbius反演，

\boxed{P_n=\sum_{d\mid n}\mu(n/d)F_d, \qquad O_n=\frac1n\sum_{d\mid n}\mu(n/d)F_d.} \tag{8}

最小周期为 $n$ 的每条轨道恰有 $n$ 个不同点，故第二式真是整数。这个论证不要求 $f$ 在整个空间上可逆；它在一条周期轨道上自然构成循环置换。

对前面的 $A=\bigl(\begin{smallmatrix}3&2\\1&1\end{smallmatrix}\bigr)$ ，前四次结果是

$n$	$F_n=\lvert\det(A^n-I)\rvert$	$P_n$	$O_n$
1	2	2	2
2	12	10	5
3	50	48	16
4	192	180	45

第四行只需扣掉最小周期一、二的点，即 $P_4=F_4-F_2=180$ ，不应再减一次 $F_1$ 。若某次固定集合含有整条圆周，不能把无穷点数塞入这里的有限整数反演；先返回集合结构才是正确终点。

与同调迹和映射环面互相检查

对二维环面，乘积同调给 $H_0,H_1,H_2$ 的秩为 $1,2,1$ 。平移与恒等同伦，所以 $f$ 在一阶同调上作用为 $A$ ；杯积给顶维作用为乘 $\det A$ 。因此

L(f^n)=1-\operatorname{tr}(A^n)+\det(A^n)=\det(I-A^n). \tag{9}

若行列式非零，Smith解集给 $F_n=|L(f^n)|$ 。更进一步，任意连续 $g:\mathbb T^2\to\mathbb T^2$ 若同伦于 $f^n$ ，就有同一个非零Lefschetz数，由Lefschetz定理也必须有不动点；这里不再要求 $g$ 是仿射映射。但精确点数的Smith算法只适用于式(2)的线性同余模型。

映射环面同调则使用整数余核 $\operatorname{coker}(I-A^n)$ 。当矩阵满秩时，它与固定点群具有相同Smith因子，但对象不同：固定点在环面中，余核是整数格的商。例如式(5)同时说明二次迭代映射环面的一阶同调为 $\mathbb Z\oplus\mathbb Z/2\oplus\mathbb Z/6$ 。

核算真正的计算任务

求 $A^n$ 可以用反复平方；同时追踪仿射项时，可对增广矩阵 $\bigl(\begin{smallmatrix}A&b\\0&1\end{smallmatrix}\bigr)$ 作幂运算。整数或有理数的位数会增长，不能把所有算术永久视为单位成本。Smith计算还需核对 $UN_nV=D$ 及 $\det U,\det V=\pm1$ 。

计数只需不变因子或满秩行列式，逐点输出则至少要写出 $F_n$ 份坐标。 $F_n$ 可以随 $n$ 指数增长，不能把“用少量矩阵乘法得到计数”说成“同样快地枚举全部点”。本单元脚本为可复查的小输入直接列点与轨道，并单独记录输出量。

参考资料

Michael Baake、John A. G. Roberts、Alfred Weiss，Periodic orbits of linear endomorphisms on the 2-torus and its lattices，Nonlinearity 21 (2008), 2427–2446；本文所读预印本§2.1 pp.3–4、§2.2 pp.5–6、§3.1 Fact 4 p.8：固定点、轨道反演及有限有理网格。原文Fact 4在行列式为零时计孤立点；本页明确返回整个固定集合，不把“没有孤立点”改写成“没有点”。
本页的任意维Smith坐标、仿射相容条件及剪切迁移均已直接推导；完整复算见映射与周期证书终点。

形式陈述 ​

坐标公式与完整性证明 ​

平移什么时候可整体消掉 ​

同一矩阵的十二个二次迭代固定点 ​

零行列式：可以是一族圆周，也可以为空 ​

有理网格与整个环面不是同一份输入 ​

从固定点数恢复最小周期与轨道 ​

与同调迹和映射环面互相检查 ​

核算真正的计算任务 ​

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