有向集

序列把进度排成一条线，有向集只要求不同进展可以继续合并。一个阶段可能已经满足条件组 $F$，另一个阶段满足条件组 $G$；共同后继代表同时处理 $F\cup G$ 的更晚阶段。因而有向性记录的不是“任意两项可比较”，而是“任意有限批要求最终可兼容”。

对 ${\alpha }_0\in A$，尾部

表示已经越过阶段 ${\alpha }_0$ 的所有索引。性质 $P(\alpha )$ 最终成立，意为存在 ${\alpha }_0$，使所有 $\alpha ⪰{\alpha }_0$ 都满足 $P$。任意两个尾部有共同的更深部分，这使“最终”具有稳定含义。

自然数按通常次序是有向集，$max(m,n)$ 是共同后继。任意集合 $I$ 的有限子集族 ${\mathcal{P}}_{\mathrm{fin}}(I)$ 按包含关系也是有向集，$F\cup G$ 是共同后继；当 $I$ 不可数时，这个索引结构通常不能由一条可数序列完整替代。

在拓扑空间中，固定点 $x$ 的邻域可按反向包含定向：

更小的邻域被视为更晚、信息更精细的阶段。若仍按普通包含排序，逼近方向就会反转；集合相同不表示定向语义相同。

例如取两个不同索引 $a,b$，规定它们彼此都在对方之后，则每个尾部都是 $\{a,b\}$。让网在离散空间 $\{0,1\}$ 中分别取值 $f(a)=0,f(b)=1$，它既不收敛到 $0$，也不收敛到 $1$。互相可达的索引商只有一个点；若只保留代表 $a$，所得常值网却收敛到 $0$。共同后继结构保留下来了，原网没有直接下降。

有两个互不相交分支且没有共同后继的预序不是有向集。任何非空全序都向上有向，因为任意两元素中较大者就是共同后继；相比之下，仅有传递性或集合无限都不够。还要区分“整个索引集是有向的”与“偏序中的某个子集是有向子集”：后者是DCPO公理库有向完备偏序Directed-complete partial order · DCPO · Directed complete poset每个非空有向子集都具有上确界的偏序，用于汇聚相容的信息近似。定义中被取上确界的对象。

网公理库网Net · Moore–Smith net · 拓扑网以有向集为索引的点族，用共同后继表达一般拓扑中的逼近。以有向集作为索引，把一般拓扑中的有限邻域要求组织成逼近过程。域论则对偏序中的有向子集取上确界，将相容的有限信息汇成极限。两处共享共同后继机制，但一个索引点族，另一个研究偏序内部的极限，不能把“网收敛”与“有向上确界存在”当成同一定义。

有向集也出现在滤过余极限、有限信息系统和并行逼近中。使用它时应明确三件事：关系方向、是否允许仅为预序，以及“有向”是否要求集合非空。部分文献允许空有向集；那会使“每个有向集都有上确界”自动要求底元，本库采用非空约定，并把底元作为 pointed 条件单独声明。