邻域

邻域表达“这个集合给点留出了一小块空间”。集合本身可以带着远处的边界或额外点；只要其中藏着一个真正围住该点的开集，它就足以承载关于该点的局部陈述。

局部基像一套可不断缩小的观察窗口。任何邻域都能被某个基本窗口细化，所以收敛、连续或局部紧致的全称条件只需在这些窗口上验证。基的成员不必按数值半径编号，也不必可数。

拓扑越细，一个点拥有的邻域越多，因为更多开集可以围住它。相应地，要求一个网最终进入每个邻域会更严格；这解释了为什么加细拓扑会减少收敛关系。

在通常实线中，$[-1,1]$ 是 $0$ 的邻域，因为它包含开区间 $(-1,1)$；它不是端点 $1$ 的邻域，因为没有包含 $1$ 的实线开集能完全落在 $[-1,1]$ 内。邻域关系必须同时注明集合和点。

度量空间中，所有开球 $B_r(x)$ 构成 $x$ 的局部基：邻域 $N$ 内先有一个含 $x$ 的开集，再由开放性在这个开集内找到以 $x$ 为中心的小球。甚至半径 $1/n$ 的球已经足够，因为对任意 $r>0$，都能选 $n$ 使 $1/n<r$，从而 $B_{1/n}(x)\subseteq B_r(x)$。所以度量空间每点有可数局部基，也就是第一可数。

在子空间 $Y=[0,1]$ 中，

是点 $0$ 的开邻域。把同一集合放回 $\mathbb{R}$，它却不再是 $0$ 的邻域。邻域继承的是子空间拓扑，而不是环境空间中开球的完整形状。

离散拓扑中，任何含 $x$ 的集合都是 $x$ 的邻域，因为它包含开单点 $\{x\}$。平凡拓扑中，每个点只有一个邻域，即 $X$；这里所谓“及其超集”不会产生更多集合，因为邻域已被要求是 $X$ 的子集。

有限个邻域的交仍是邻域，任意交则未必：

在实线中不再是 $0$ 的邻域。用序列 $x_k=1/k$ 可以直接检验差别：对每个固定的 $n$，只要 $k>n$，便有 $x_k\in (-1/n,1/n)$；但没有一项等于 $0$，所以它从不进入这些邻域的交。正确顺序是“给定邻域，再选择足够靠后的起点”；不能要求一个起点同时满足所有邻域。后一种要求会把这里的收敛错误地加强为最终等于极限。

网 $x_{\alpha }$ 收敛公理库拓扑空间中的收敛Convergence in a topological space · Net convergence网最终进入候选极限的每个邻域时所定义的一般拓扑收敛。到 $x$，恰指它最终进入 $x$ 的每个邻域。若已有局部基，只检查基成员即可。这个定义同时覆盖度量序列、不可数乘积中的坐标逼近以及非第一可数空间中的一般网。

映射 $f:X\to Y$ 在 $x$ 连续，可用邻域写成：对 $f(x)$ 的每个邻域 $N$，存在 $x$ 的邻域 $M$ 使

在度量空间中，把 $N$ 与 $M$ 依次取为 $\epsilon$ 球和 $\delta$ 球，就恢复熟悉的 $\epsilon$–$\delta$ 条件。

聚点、局部紧致和局部连通都通过“每个邻域”或“存在特殊邻域基”表达。第一可数性公理库第一可数空间First-countable space每一点都有可数邻域基的拓扑空间。要求每点有可数局部基；它把可能不可数的邻域检验压缩成一列，从而让序列足以探测局部拓扑。