开集

若 $x\in U$ 且 $U$ 开，那么在足够局部的观察尺度里移动 $x$，仍不会离开 $U$。拓扑把“足够局部”编码成开邻域；度量只是产生这类邻域的一种方式。

任意并保持开，因为并中每一点已经在某个开放成员内拥有局部余量。有限交保持开，则是因为有限多个余量可以同时缩小后满足；对无限多项，没有一个正的局部余量必然同时适用。

开放性总是相对于环境空间。一个集合的端点是否“暴露在外”，取决于空间里还存在哪些点，而不是取决于区间符号长什么样。

实数通常拓扑中，若 $a<x<b$，取 ${\epsilon }_x=\frac{1}{2}min\{x-a,b-x\}>0$，便有 $(x-{\epsilon }_x,x+{\epsilon }_x)\subset (a,b)$，因此 $(a,b)$ 开。点越接近端点，可用半径越小；不存在一个正半径同时适用于区间里所有点。相反，$[a,b]$ 在 $a<b$ 时不开放，因为以 $a$ 为中心的任意正半径球都含小于 $a$ 的实数。

开射线也开，因为

这说明开集不必有界，也不必只由单个开区间表示。

无限交失败可由一族真正缩小的邻域看出：

每一步都还留有正半径，全部精度要求同时施加后却只剩一点。有限交公理的边界正落在这里。

令 $Y=[0,1]\subseteq \mathbb{R}$。在子空间拓扑公理库子空间拓扑Subspace topology用环境开集与子集相交，使子集继承母空间局部结构的拓扑。中，

是 $Y$ 中的开集，尽管它不是实线中的开集。证明相对开放时，开球和补集都必须在 $Y$ 内解释；把母空间偷换成 $\mathbb{R}$ 会改变命题。

离散空间中每个集合都开；平凡拓扑中只有 $\varnothing$ 与 $X$ 开。Sierpiński 空间取底集 $X=\{0,1\}$ 和拓扑 $\tau =\{\varnothing ,\{1\},X\}$，所以 $\{1\}$ 开而 $\{0\}$ 不开。它不能由任何度量产生：两点间距离若为 $a>0$，以各点为中心、半径 $a/2$ 的球便会使两个单点都开放。这个有限例子展示了超出度量的拓扑。

开与闭并非互斥标签。$\varnothing$ 与 $X$ 在每个空间中都既开又闭；不连通空间还会有非平凡的既开又闭集。实线中的半开区间 $[0,1)$ 则既不开也不闭。若“边界”使用精确定义 $\partial A=\bar{A}\setminus \mathrm{int}A$，则开确实等价于 $A\cap \partial A=\varnothing$，闭等价于 $\partial A\subseteq A$。错误在于把边界先验地想成图上的端点：既开又闭的集合边界为空，半开区间则只含两个边界点中的一个。

连续映射也不会自动把开集送成开集。常值映射是连续的，但一个非空开集的像通常只是单点；连续性的定义使用目标开集的逆像，开映射则是另一项额外性质。

任意子集 $A\subseteq X$ 的内部是它所包含的全部开集之并，因此是 $A$ 的最大开子集。与之对偶，闭包是包含 $A$ 的最小闭集；二者共同确定边界公理库内部、闭包与边界Interior, closure, and boundary集合的最大开子集、最小闭超集及二者确定的边界。。

拓扑基公理库拓扑基Basis for a topology通过覆盖与局部交细化条件生成全部开集的局部模板族。把全部开集压缩为局部模板。要证明映射连续，只需检查目标空间一组基元素的逆像开放，因为逆像保持任意并。这个技巧把“遍历所有开集”化成结构化的局部检验。

拓扑连续性公理库拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。、连通性公理库连通空间Connected space不能被分成两个不交非空相对开集的空间。与紧致性公理库紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。都直接用开集陈述：连续性拉回开集，连通性排除开分离，紧致性把开覆盖压缩为有限子覆盖。它们共享词汇，却分别控制映射、整体不可分割性和覆盖规模。