拓扑空间

拓扑记录哪些范围可以围住一个点而仍被视为局部。它不为邻近程度标上数值，只保留“能否在不离开某集合的情况下给点留出一小块空间”。这正是连续、收敛、连通与紧致真正共同使用的那部分结构。

任意并公理允许把任意多块局部区域拼成开区域。有限交公理则保证同时施加有限多个局部条件后仍有活动余地；无限多个条件可能把余地逐步压没，所以公理没有要求无限交开放。

拓扑越细，可观察的局部区别越多。相应地，收敛必须通过更多邻域检验，因而更难；拓扑越粗，更多网会收敛，有时甚至同一个网收敛到多个点。细与粗描述的是开集信息量，不能简单翻译成某个距离“变大”或“变小”。

离散拓扑 $\mathcal{P}(X)$ 是最细拓扑，每个集合都开；平凡拓扑 $\{\varnothing ,X\}$ 是最粗拓扑，非空真子集都无法被局部观察。若 $X$ 至少有两个点，前者使收敛网最终恒定，后者则使每个网收敛到每个点。

两点集合 $S=\{0,1\}$ 上的 Sierpiński 拓扑

保留了方向性的可辨别信息：点 $1$ 有一个排除 $0$ 的邻域，点 $0$ 却没有排除 $1$ 的邻域。它满足拓扑公理，但不能由度量诱导，因为度量空间必为 Hausdorff。

在实线通常拓扑中，所有开区间的并给出全部开集。每个 $(-1/n,1/n)$ 都开，而

不开放。这个计算准确展示了有限交与无限交的分界，而不是公理中一个可随意加强的技术细节。

无限集合上的余有限拓扑由空集及补集有限的集合组成。它比离散拓扑粗，并且任意两个非空开集都相交；所有单点集仍闭，所以它是 $T_1$ 空间，却通常不是 Hausdorff。分离性质因此必须逐级检查，不能从“点闭”直接跃迁到“极限唯一”。

由集合族生成拓扑 ​

同一集合 $X$ 上任意一族拓扑的交仍是拓扑。于是给定 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(X)$，所有包含 $\mathcal{A}$ 的拓扑之交，就是由 $\mathcal{A}$ 生成的最小拓扑。

若一族集合覆盖 $X$ 并满足局部交细化条件，即每个 $x\in B_1\cap B_2$ 都落在某个 $B_3\subseteq B_1\cap B_2$ 中，其任意并已经构成拓扑，它就是拓扑基公理库拓扑基Basis for a topology通过覆盖与局部交细化条件生成全部开集的局部模板族。。更一般的子基无需满足交细化条件：先取有限交（包括等于 $X$ 的空交）得到基，再取任意并得到拓扑。例如在 $X=\{a,b,c\}$ 上指定 $\{a,b\}$ 和 $\{b,c\}$ 为开集，就必须补入它们的交 $\{b\}$，以及空集与全集；这五个集合已经对所需运算封闭。区分“生成数据”与“最终开集族”能避免把任意覆盖误当成基。

常用的三种新空间构造分别沿不同方向传递拓扑。子空间拓扑公理库子空间拓扑Subspace topology用环境开集与子集相交，使子集继承母空间局部结构的拓扑。把环境开集限制到子集；积拓扑公理库积拓扑Product topology在笛卡尔积上由有限坐标条件生成、并使所有坐标投影连续的最粗拓扑。是使各坐标投影连续的最粗拓扑；商拓扑公理库商拓扑Quotient topology由满射逆像判据定义的最细拓扑，用来把指定点族连续地粘合为点。是使给定满射连续的最细拓扑。

这里的“最粗/最细”决定相应映射满足哪条泛性质，并非只用来比较开集数量。

度量空间公理库度量空间Metric space用满足正定性、对称性与三角不等式的实值距离刻画点间远近的空间。通过开球给出拓扑。忘掉距离后，同一空间仍保留拓扑连续、连通、紧致和分离性质，却可能失去完备性、长度或曲率。判断一个命题是否属于拓扑，最直接的方法是检查它是否在同胚下保持。

连续映射保持由开集结构表达的关系，而同胚公理库同胚Homeomorphism自身与逆映射都连续的双射，给出两个拓扑空间之间可逆的开集翻译。给出开集族之间可逆的完整翻译。因此拓扑学通常先构造同胚或不变量，再判断两个表面形状不同的空间是否具有相同的邻近结构。