双指数求积与端点奇性证书

形式陈述

考虑一个绝对收敛的反常积分

I=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx.

即使 $f$ 在端点发散，只要发散可积，仍可以用不取端点的有限节点求积规则。令 $a=\pi/2$ ，定义严格递增的变换

\phi(t)=\tanh(a\sinh t),\qquad \phi'(t)=\frac{a\cosh t}{\cosh^2(a\sinh t)}. \tag{1}

它把 $\mathbb R$ 双射到 $(-1,1)$ ，于是

I=\int_{\mathbb R}g(t)\,dt, \qquad g(t)=f(\phi(t))\phi'(t).

Tanh–sinh双指数规则取 $h>0$ 、整数 $N\ge0$ ，返回

S_{h,N}=h\sum_{k=-N}^{N}g(kh) =\sum_{k=-N}^{N}w_kf(x_k), \quad x_k=\phi(kh),\quad w_k=h\phi'(kh)>0. \tag{2}

名字中的“双指数”描述变换后实轴尾部形如 $e^{-c e^{|t|}}$ ，不表示任意输入都自动获得双指数的总误差。

严格证书的两份先验

先假设有已知常数 $C>0$ 、 $0\le\alpha<1$ ，使

|f(x)|\le C(1-x^2)^{-\alpha}\quad(-1<x<1). \tag{3}

这保证端点绝对可积。令

\beta=2(1-\alpha),\qquad c=\frac{\beta a}{2}>0,\qquad A=C a\,2^\beta e^c. \tag{4}

则实轴上有

|g(t)|\le A e^{|t|}e^{-c e^{|t|}}. \tag{5}

另外，必须证明 $g$ 有一个复条带上的全纯延拓，并满足指数梯形公式的合同：某个 $d>0$ 的闭条带内一致多项式衰减，且两条边线的绝对积分分别不超过 $B_+,B_-$ 。式(3)只约束实轴，不能代替这项复域先验。

若 $L=Nh$ 满足 $ce^L\ge1$ ，则总解析误差为

\boxed{|S_{h,N}-I|\le \underbrace{\frac{B_++B_-}{e^{2\pi d/h}-1}}_{E_{\rm disc}} +\underbrace{\frac{2A}{c}e^{-ce^L}}_{E_{\rm tail}}.} \tag{6}

若有限和经可靠计算包含在 $[l,u]$ ，实值积分就包含在 $[l-E,u+E]$ ，其中 $E=E_{\rm disc}+E_{\rm tail}$ 。取该最终区间中点作近似时，其半宽才是包含函数评估误差的总误差界。

直觉

梯形网格在 $t$ 轴上仍均匀，映回 $x$ 轴后却在两端密集聚集。与此同时，权重 $\phi'(t)$ 迅速变小。对于不太强的端点发散，权重的减小压过 $f(\phi(t))$ 的增大，使乘积 $g(t)$ 的尾部极小。

为何不直接在端点附近无限加点？有限程序仍必须在某处停下。式(5)将尚未计算的所有尾项一起包住；复条带界则控制即使保留无限多节点仍存在的梯形离散误差。两份保证分别回答“窗口是否够宽”和“步长是否够细”。

tanh–sinh节点聚集和两项解析误差，尾界随窗口减小，固定步长的离散界不变。

左图仅选七个代表节点；每个有限节点都在开区间内。右图使用下面arcsine模型的解析界，不是实际误差；下载证书另以较粗有理预算包含这些界。

双指数尾从哪里来

因为 $1-\phi(t)^2=\cosh^{-2}(a\sinh t)$ ，式(3)给

|g(t)|\le\frac{Ca\cosh t}{\cosh^\beta(a\sinh t)}.

对 $t\ge0$ ，使用 $\cosh t\le e^t$ 、 $\cosh u\ge e^u/2$ 和 $\sinh t\ge(e^t-1)/2$ ，得到

|g(t)|\le Ca2^\beta e^t \exp\left(-\frac{\beta a}{2}(e^t-1)\right) =A e^t e^{-ce^t}.

右侧关于 $|t|$ 对称，所以负尾同样成立。函数 $G(t)=Ae^te^{-ce^t}$ 在 $ce^t\ge1$ 时单调不增，于是

h\sum_{k=N+1}^{\infty}|g(kh)| \le\int_L^{\infty}G(t)\,dt =\frac Ac e^{-ce^L}.

两侧相加即式(6)的尾界。这里起始尾项是 $N+1$ ，积分却从 $Nh$ 开始；单调性解释了这个方向。

例子与边界

一个奇端点模型：积分值为π

取

f_0(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}},\qquad g_0(t)=\frac{a\cosh t}{\cosh(a\sinh t)}. \tag{7}

实轴上的化简使用正平方根；随后将右侧的cosh比直接作为复延拓，因此无需在复平面另猜平方根分支。变量 $x=\sin\theta$ 给真实积分 $I_0=\pi$ 。

式(3)取 $C=1,\alpha=1/2$ ，便有 $c=\pi/4$ 、 $A=\pi e^{\pi/4}$ ，从而

E_{\rm tail}\le8e^{\pi/4} \exp\left(-\frac\pi4e^L\right). \tag{8}

我们还将证明 $d=\pi/6$ 时可取 $B_+=B_-=32$ 。因此 $h=1/10,N=40$ 的81项规则具有

E_{\rm disc}\le\frac{64}{e^{10\pi^2/3}-1}, \qquad L=4. \tag{9}

这些界在计算任何节点前就已确定。用 $3<\pi<4$ 、 $8/3<e<11/4$ 还能换成纯有理的较粗证书：

E_{\rm disc}<\frac{64}{(8/3)^{30}-1}, \qquad E_{\rm tail}<22(3/8)^{37}. \tag{10}

后一项使用 $\pi e^4/4>1024/27>37$ 。两项之和小于 $10^{-10}$ ；函数值计算的区间宽度仍须另外加入。

乘上x²后，哪一份预算改变

迁移为 $f_2(x)=x^2/\sqrt{1-x^2}$ ，真实积分为 $I_2=\pi/2$ 。实轴上 $|x|\le1$ ，所以同一个 $C,\alpha$ 和式(8)尾界仍成立。可是复延拓变成

g_2(z)=g_0(z)\tanh^2(a\sinh z),

复数的 $|\tanh|$ 未必小于一。下面的同条带估计给 $|\tanh(a\sinh z)|<4$ ，所以边线常数可取 $B_+=B_-=512$ 。

例如改用 $h=1/12,N=48$ ，保持 $L=4$ ，离散界变为

E_{\rm disc}\le\frac{1024}{e^{4\pi^2}-1} <\frac{1024}{(8/3)^{36}-1}. \tag{11}

97项规则由新的复域预算认证，而不是因为实轴上函数更小便沿用旧离散界。

条件失效和数值端点

若 $\alpha=1$ ，式(4)的 $c$ 为零，尾部不再受此双指数界控制；例如 $1/(1-x^2)$ 本来就没有有限的绝对积分。若实轴上存在内部奇点，单靠两端聚集也不能绕过它。复平面的极点或分支点靠近变换后的实轴时，可用的 $d$ 变小，求积必须使用更细步长。

浮点计算还会把很接近一的 $\tanh(a\sinh t)$ 舍入成一，从而在 $f_0$ 中制造除零。可直接计算式(7)的化简乘积，或者对 $u\ge0$ 用

1-\tanh u=\frac{2e^{-2u}}{1+e^{-2u}}

保留小量。先算一个已经舍入到一的节点，再用 $1-x$ 相减，无法恢复丢掉的信息。

推论与应用

为模型补齐复条带合同

写 $z=x+iy$ 、 $|y|\le d=\pi/6$ ，以及

a\sinh z=A_0+iB_0, \quad A_0=a\sinh x\cos y, \quad B_0=a\cosh x\sin y.

由

|\cosh(A_0+iB_0)|^2=\sinh^2 A_0+\cos^2 B_0 \tag{12}

可知分母不能为零： $A_0=0$ 迫使 $x=0$ ，此时 $|B_0|\le\pi/4$ 。更一般地，在整个开条带 $|y|<\pi/2$ 中同一推理给 $|B_0|<\pi/2$ ，所以 $g_0,g_2$ 均全纯。

\cos B_0>\cos(2\pi/5)=\frac{\sqrt5-1}{4}>\frac14.

中间的三角值可由五次单位根的几何和得到：令 $c_0=\cos(2\pi/5)>0$ ，则 $4c_0^2+2c_0-1=0$ 。结合 $\pi<4$ ，紧区间上 $|g_0|<64/5$ ，故其积分贡献小于 $128/5$ 。

若 $|x|\ge1$ ，由 $a\cos y\ge\pi\sqrt3/4>1$ 得 $|A_0|>\sinh|x|>1$ 。由于 $e^2>4$ ，有 $\sinh|A_0|>3e^{|A_0|}/8$ 。因此

|g_0(x+iy)|<\frac{16}{3}\cosh x\,e^{-\sinh|x|}.

两侧尾积分各小于 $16/(3e)<8/3$ ，于是整条水平线的绝对积分小于

\frac{128}{5}+\frac{16}{3}=\frac{464}{15}<32. \tag{13}

这对所有 $|y|\le d$ 一致成立。所给尾包络也比任意固定负幂衰减更快，故满足指数梯形页要求的一致多项式衰减。

再看迁移因子。由

|\tanh(A_0+iB_0)|^2 =\frac{\sinh^2 A_0+\sin^2 B_0} {\sinh^2 A_0+\cos^2 B_0},

紧区间用 $\cos B_0>1/4$ 得该值小于16。尾部 $|A_0|>1$ 时可用 $|\tanh|\le\coth|A_0|<5/3<4$ 。所以整个闭条带上 $|g_2|\le16|g_0|$ ，边线积分小于512，式(11)有了独立依据。

有限算法与停止证书

给定正容差 $\varepsilon$ 、已证的 $A,c,d,B_\pm$ 及有限资源预算，可按以下顺序执行：

先取 $L\ge0$ ，使 $ce^L\ge1$ 且 $2A e^{-ce^L}/c\le\varepsilon/3$
再取 $h>0$ ，使 $(B_++B_-)/(e^{2\pi d/h}-1)\le\varepsilon/3$ ，并取 $N=\lceil L/h\rceil$ ；实际窗口更宽，尾界只会减小
用可靠区间运算包含全部 $2N+1$ 项，细化精度直到有限和区间半宽不超过 $\varepsilon/3$
把解析误差加到区间两端，返回最终区间、参数、两项预算、求值数和认证状态；任何先验未证、函数值无法包含或资源耗尽都返回未认证

前三步始终保持同一个不变量：最终目标积分落在“已算有限和区间加已证余项”的区间里。缩小已算区间不会改变余项前提，增加窗口不会自动降低离散误差。

对固定的正先验常数，当 $\varepsilon\downarrow0$ ，可选 $L=O(\log\log(1/\varepsilon))$ 、 $h^{-1}=O(\log(1/\varepsilon))$ ，因而节点数为 $O(\log(1/\varepsilon)\log\log(1/\varepsilon))$ 。这是所述合同下的节点数上界，不包含高精度函数评估的位成本，也不是所有函数类上的最优性宣称。有限预算下，算法仍可能诚实地返回未认证。

完整终点把奇端点积分与非偶迁移做成标准库有理区间证书，同时检验周期混叠和Gaussian尺度转换。闭式π值只供独立复核；认证预算来自条带与尾部证明。

参考资料

H. Takahasi and M. Mori，Double Exponential Formulas for Numerical Integration，Publications of RIMS9，1974，pp.721–741，§2(b) pp.729–733及§3 pp.733–735：双指数变换、有限区间tanh–sinh公式与端点小量的相消警告。本文不将原文的渐近选择讨论改写成任意输入的无条件最优性。
Trefethen–Weideman，The Exponentially Convergent Trapezoidal Rule，SIAM Review56(3)，2014，§14 pp.428–432：变量变换、端点奇性和双指数求积。本文式(4)–(13)的具体常数由所列不等式直接证明。

形式陈述 ​

严格证书的两份先验 ​

双指数尾从哪里来 ​

一个奇端点模型：积分值为π ​

乘上x²后，哪一份预算改变 ​

条件失效和数值端点 ​

为模型补齐复条带合同 ​

有限算法与停止证书 ​

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