解析条带上的指数梯形求积

形式陈述

求积公式用有限个函数值近似积分。梯形规则通常只有代数阶精度，但若周期端点能完全衔接，且函数在复平面有足够宽的全纯条带，等距采样的误差可以随节点数指数下降。本页给两种不同合同；整实线公式起初包含无限多节点，不能把它的误差界直接当作有限程序的总误差。

周期区间：有限网格

设 $f$ 是 $2\pi$ 周期函数，在闭条带 $|\operatorname{Im}z|\le a$ 的某个开邻域全纯，其中 $a>0$ ，并满足 $|f(z)|\le M$ 。对整数 $N\ge1$ 、实平移 $s$ ，定义

I=\int_0^{2\pi}f(x)\,dx, \qquad T_N(s)=\frac{2\pi}{N}\sum_{j=0}^{N-1}f\left(s+\frac{2\pi j}{N}\right). \tag{1}

令 $c_k=(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}f(x)e^{-ikx}\,dx$ 。则

T_N(s)-I=2\pi\sum_{m\ne0}c_{mN}e^{imNs}, \qquad \boxed{|T_N(s)-I|\le\frac{4\pi M}{e^{aN}-1}.} \tag{2}

若目标是平均 $I/(2\pi)$ ，规则及误差界都要除以 $2\pi$ 。周期为 $L>0$ 时，换元 $x=L\theta/(2\pi)$ ，条带半宽 $d$ 给出的积分误差界相应为 $2LM/(e^{2\pi dN/L}-1)$ 。

整实线：无限网格

设 $g$ 在闭条带 $|\operatorname{Im}z|\le d$ 的某个开邻域全纯， $d>0$ 。采用一条方便直接证明的衰减条件：存在 $C>0,\eta>0$ ，使

|g(x+iy)|\le\frac{C}{(1+|x|)^{1+\eta}} \quad(x\in\mathbb R,\ |y|\le d). \tag{3}

再给出两条边线的可核上界

\int_{\mathbb R}|g(x+id)|\,dx\le B_+, \qquad \int_{\mathbb R}|g(x-id)|\,dx\le B_-.

对任意 $h>0$ 、实平移 $s$ ，有

\boxed{\left|h\sum_{k\in\mathbb Z}g(kh+s) -\int_{\mathbb R}g(x)\,dx\right| \le\frac{B_++B_-}{e^{2\pi d/h}-1}.} \tag{4}

式(3)不是最弱条件，但它同时控制周期化和围道竖边，足以把后面的证明完全闭合。只知道实轴上的快速衰减，没有提供复条带信息，不足以使用式(4)。

直觉

等距平均会把频率看成模 $N$ 的余数。频率 $N,2N,\ldots$ 在所有节点上都与常数频率相同，所以它们会混入积分。这不是一个模糊的“高频影响”：式(2)把全部误差精确列成那些被误认成常数的Fourier系数。

解析条带使这些系数至少按 $e^{-a|k|}$ 衰减，因此只有每隔 $N$ 个才出现一次的混叠项非常小。平移网格给它们乘上相位，可能引起抵消，也可能改变误差符号；统一上界不依赖这种幸运抵消。

整实线的对应频率间隔是 $1/h$ 。减小步长将第一个混叠频率推远，于是复条带带来 $e^{-2\pi d/h}$ 。但有限窗口仍可能漏掉大量实轴面积：频率上的离散误差和空间中的尾误差是两项不同的预算。

例子与边界

Poisson核：直接读出误差和符号

复用圆盘Poisson核，固定 $0<r<1$ ，把它视为周期求积输入：

f(x)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos x+r^2} =\sum_{k\in\mathbb Z}r^{|k|}e^{ikx}.

其平均恰为一。记 $Q_N(s)=T_N(s)/(2\pi)$ ，则精确混叠式给

Q_N(0)=1+2\sum_{m\ge1}r^{mN} =\frac{1+r^N}{1-r^N}, \quad Q_N(0)-1=\frac{2r^N}{1-r^N}. \tag{5}

若平移半个网格， $s=\pi/N$ ，每项乘 $(-1)^m$ ，于是

Q_N(\pi/N)=\frac{1-r^N}{1+r^N}, \quad Q_N(\pi/N)-1=-\frac{2r^N}{1+r^N}. \tag{6}

同样数量的节点，一个高估，一个低估。取 $r=1/2$ ，未平移平均的误差是 $2/(2^N-1)$ 。要求不超过 $10^{-3}$ ，最小整数为 $N=11$ ： $N=10$ 仍超过容差， $N=11$ 已满足。这是精确有理判决，不需要把浮点节点和函数值先算得很多位。

左图两张四点网格展示相位区别；右图只画未平移平均的精确误差。绿色十一点满足所示容差，红色十点仍不满足。

这个函数的最近复极点到实轴距离为 $-\log r$ 。不能把恰好穿过极点的闭条带当作有界全纯条带；使用通用界时应选更小半宽并重新估计 $M$ 。式(5)的精确结果则直接来自已知系数。

两张网格一致，真实积分仍可能不同

固定一个整数 $N\ge1$ ，令

f(x)=1-\cos(2Nx).

它在实轴上非负，且是整函数。 $N$ 节点和 $2N$ 节点的未平移平均都恰为零，真实平均却为一。因而 $Q_{2N}-Q_N=0$ 不能单独证明误差为零，甚至不能给出任何小于一的统一保证。

这不违反条带定理：该函数在半宽 $a$ 上的上界随频率含有 $e^{2Na}$ 的增长。只说“整函数”，却不带入实际的 $M$ ，会丢掉决定误差的量。旧自适应求积对规则差估计器的边界在此仍然适用。

无限规则很准，有限截断仍可能很差

取 $g(x)=1/(1+x^2)$ 。对任意固定 $0<d<1$ ，它满足式(3)，所以无限梯形误差随 $1/h$ 指数下降。可是实轴函数只有二次衰减；用 $|k|\le N$ 截断时，尾部满足

h\sum_{|k|>N}\frac1{1+k^2h^2} \le2\int_{Nh}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}.

右侧只随窗口 $Nh$ 代数下降。保持 $Nh$ 不变而不断减小 $h$ ，并没有把这项尾界压到零。若先做双指数变量变换，有时可以加快空间尾，但必须重新核变换后函数的复条带。

推论与应用

有限频率过滤的证明

解析函数谱收敛已在同一条带合同下证明 $|c_k|\le Me^{-a|k|}$ ，因此Fourier级数绝对一致收敛。将它代入有限和，可以交换级数与节点求和。有限几何和给

\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}e^{2\pi ikj/N} =\begin{cases}1,&N\mid k,\\0,&N\nmid k.\end{cases}

所以只有 $k=mN$ 留下；零频率给积分，其他频率就是式(2)。再对正负 $m$ 分别求几何尾，得

2\pi\sum_{m\ne0}|c_{mN}| \le4\pi M\sum_{m\ge1}e^{-aNm} =\frac{4\pi M}{e^{aN}-1}.

这个机制补充了Euler–Maclaurin的周期端点抵消：后者每次给一个固定代数阶，条带则一次给出明确指数和常数。

实线频率为什么按条带宽度衰减

沿本库Fourier规范， $\widehat g(\xi)=\int g(x)e^{-2\pi ix\xi}\,dx$ 。若 $\xi>0$ ，用Cauchy围道积分定理将路径移到下边线 $\operatorname{Im}z=-d$ ；若 $\xi<0$ ，则移到上边线。式(3)使左右竖边积分在截断趋于无穷时消失。于是

|\widehat g(\xi)|\le \begin{cases} B_-e^{-2\pi d\xi},&\xi>0,\\ B_+e^{-2\pi d|\xi|},&\xi<0. \end{cases} \tag{7}

例如下边线上的指数为 $e^{-2\pi i(x-id)\xi}=e^{-2\pi ix\xi}e^{-2\pi d\xi}$ ，方向不能反写。

式(3)给一致绝对周期化，式(7)给变换格点绝对可和，恰好满足Poisson求和公式的两条充分条件。减去零频率并用 $|e^{2\pi ims/h}|=1$ ，得到

\left|h\sum_k g(kh+s)-\widehat g(0)\right| \le(B_++B_-)\sum_{m\ge1}e^{-2\pi dm/h},

即式(4)。证明中没有先对未经认证的函数使用Poisson公式。

有限程序应返回哪些量

在未平移情形取

S_{h,N}=h\sum_{k=-N}^{N}g(kh).

若已有实尾界 $h\sum_{|k|>N}|g(kh)|\le E_{\rm tail}$ ，则

\left|S_{h,N}-\int g\right| \le \frac{B_++B_-}{e^{2\pi d/h}-1}+E_{\rm tail}. \tag{8}

若有限和自身只计算为一个包含区间 $[L,U]$ ，真实积分便包含在 $[L-E,U+E]$ ，其中 $E$ 为右侧两项之和。复值函数可分别给实、虚部包含；以下单元终点使用实值输入。

周期规则需要 $N$ 次函数求值，有限实线规则需要 $2N+1$ 次；它们的求和均为线性算术成本。函数求值的精度成本与区间宽度另计。没有边线常数或尾界时可以输出数值近似，但不能声称已经获得式(8)的误差证书。

参考资料

L. N. Trefethen and J. A. C. Weideman，The Exponentially Convergent Trapezoidal Rule，SIAM Review56(3)，2014，§3 pp.394–398，Theorem3.2及混叠证明；§5 pp.399–404，Theorem5.1和(5.9)–(5.11)；§6 pp.404–405区分截断与离散误差。本文采用更强的式(3)，使周期化和移线的每一步都能直接验证。
周期Fourier系数衰减复用旧谱收敛页；这里新增精确节点过滤、相位和求积误差。Poisson核与两网格反例由所列级数及有限几何和独立复算。

形式陈述 ​

周期区间：有限网格 ​

整实线：无限网格 ​

Poisson核：直接读出误差和符号 ​

两张网格一致，真实积分仍可能不同 ​

无限规则很准，有限截断仍可能很差 ​

有限频率过滤的证明 ​

实线频率为什么按条带宽度衰减 ​

有限程序应返回哪些量 ​

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