数值求积问题与求积公式

形式陈述

数值求积先固定一个在所声明函数类上存在且有限的积分泛函 $I$ ，再用有限个节点的函数值近似它。输入是可在所选节点求值的具体函数及其访问过程；若积分按Lebesgue 积分解释，也不能只给出没有指定逐点代表的 $L^p$ 等价类，因为节点值不是这种等价类的不变量。

本页的主要工作例是一维有限区间 $[a,b]$ 上的Riemann 积分：

I(f)=\int_a^bf(x)\,dx.

同一有限采样接口也可用于 $I_w(f)=\int_J f(x)w(x)\,dx$ ：区间 $J$ 可以无界，权也可有端点奇性，但必须明确采用 Lebesgue 积分还是收敛的反常积分，并核对目标值存在且有限。改变目标泛函不会自动保留有限区间的导数余项。

一个含 $n\ge1$ 个节点的求积公式写成

Q_n(f)=\sum_{i=1}^{n}w_if(x_i),

其中 $x_i$ 是节点， $w_i$ 是权重。输入还必须说明函数能否在端点求值、是否有导数或光滑性界、单次求值成本以及是否存在奇点；输出应包含近似值、函数求值次数，以及误差界、误差估计或“无证书”状态中的一种。

用误差度量记录离散规则与目标积分之差，误差泛函定义为

E_n(f)=I(f)-Q_n(f).

相对于已经固定的目标泛函，若直到 $m+1$ 次所需的多项式矩都存在且有限，对所有次数不超过 $m$ 的多项式都有 $E_n(p)=0$ ，而对某个 $m+1$ 次多项式不再精确，则称该规则的代数精度为 $m$ 。若更高矩没有定义，就不能用它们宣称精度失效或套用矩比较。代数精度只描述一个有限维多项式空间；它不能把任意不光滑、振荡或含奇点函数的误差压缩成同一个数字。

节点包含端点时称闭型规则，避开端点时称开型规则。开型规则不要求访问端点，闭型规则则便于跨相邻面板复用端点。若权重来自对插值多项式积分，称为插值型规则；将低阶规则铺到许多子区间上，得到复合规则。每个选择都改变函数访问位置和误差传播，不能只按公式名称排序。

固定节点和权重后，一次 $Q_n$ 需要 $n$ 次函数求值、 $O(n)$ 次乘加和 $O(n)$ 权重存储；若节点权重可预计算，设置成本可在多个被积函数之间复用。高维 cubature 仍是对有限样本加权，但把每个坐标的一维 $n$ 点规则做张量积会产生 $n^d$ 个点，维数 $d$ 进入成本指数。

确定性误差界必须绑定函数类。例如一个包含 $\max|f^{(k)}|$ 的界只对该导数存在且有界的函数成立；比较两条规则所得的差通常只是误差估计。二者都不同于 Monte Carlo 的标准误和置信区间，不能统一写成没有标签的“误差条”。

直觉

求积公式用少量探针感受整段函数，再按权重把读数组合成面积。节点决定看哪里，权重决定每次观察代表多大区域。若函数行为符合规则能够复制的多项式结构，有限探针便足够；若重要变化藏在未采样区域，代数精度再高也无法补回没有看到的信息。

因此，选择规则首先是在选择信息模型。端点、内部节点、规则网格和随机样本各自适合不同的函数先验；“更多点”只有在节点确实分辨了函数变化、误差估计也仍可信时才意味着更多信息。

例子与边界

在单个区间上，中点公式与梯形公式分别为

M(f)=(b-a)f\!\left(\frac{a+b}{2}\right),

T(f)=\frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr).

两者都对一次多项式精确，但采样信息不同。若 $f\in C^2[a,b]$ ，存在相应的 $\xi_M,\xi_T$ 使

I(f)-M(f)=\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi_M),

I(f)-T(f)=-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi_T).

对 $f(x)=x^2$ 、 $[a,b]=[0,1]$ ，积分为 $1/3$ ，中点值为 $1/4$ ，梯形值为 $1/2$ ，误差分别为 $1/12$ 与 $-1/6$ ；代入 $f''=2$ 恰好复现两个余项。相同代数精度不意味着相同误差符号和系数。一般凸函数也满足中点低估、梯形高估，即使未必有二阶导数；上面的导数余项则需要额外光滑性。

若 $f$ 在端点无界，首先要把目标改为广义积分，并证明极限存在。例如 $\int_0^1x^{-1/2}\,dx=\lim_{\varepsilon\downarrow0}2(1-\sqrt\varepsilon)=2$ ，它不是闭区间上有界函数的普通 Riemann 积分。中点等开型规则仍能求值，直接访问 $f(0)$ 的梯形规则却不能照用；即便规则能运行，上面的有界二阶导数误差证明也已失效。

高度振荡函数可能在节点上恰好取相似值，窄尖峰也可能完全落在节点之间。此时应改变变量、利用已知振荡结构或采用能检测局部变化的策略，而不是把节点数机械加倍。

高维中，张量积的指数点数常比一维误差阶更早成为瓶颈。随机抽样避免固定张量网格，却把误差结论改成概率陈述；它不是同一确定性公式的无缝高维版本。

推论与应用

求积是数值问题与数值算法分层的典型例子：问题层给定积分泛函、函数类与误差尺度，算法层才选择节点和权重。节点公式相同而函数类、信息模型不同，最坏误差结论也会改变。

Newton–Cotes 与复合求积固定等距节点并通过分片控制局部误差；Gaussian 求积选择正交多项式零点以提高多项式精确性；自适应求积根据局部误差估计重新分配函数求值；Monte Carlo 积分则用随机变量样本均值估计积分。

这些方法共享积分对象，却不共享同一种证书。比较时应同时报告函数假设、节点生成方式、求值成本、误差标签和失败状态，而不是只比较一个光滑样例上的小数位。

参考资料

NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5: Quadrature, accessed 2026.
MIT OpenCourseWare, 18.330 Introduction to Numerical Analysis: Lecture Notes, numerical integration, accessed 2026.
Philip J. Davis and Philip Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, 2nd ed., Academic Press, 1984.

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