渐近效率

渐近效率比较的是固定参数点附近 $1/\sqrt{n}$ 局部扰动下的首阶方差。它不等于全参数空间的有限样本风险排序，也不控制偏差的高阶项、尾概率或计算成本。

正则性要求同一个估计程序经受所有固定局部方向的检验。Hodges 规则在零点附近把估计值直接压成零，因此在零点的误差极小；但真参数若以适当速度趋近零，它会把真实信号也压掉。下面分别计算根号 $n$ 局部尺度和更大收缩邻域上的风险，说明点态优势究竟付出了什么代价。

设 $X_i$ 独立同分布于 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，$\sigma$ 已知。样本均值满足

而信息逆为 $I(\mu {)}^{-1}={\sigma }^2$，所以 $\overline{X}$ 有效。

对同一位置模型，取 $\sigma >0$；正态密度在中位数 $\mu$ 附近连续且为正，因而可对 $p=1/2$ 应用样本分位数渐近公式理路样本分位数的渐近线性化Sample quantile asymptotics · Bahadur representation for a sample quantile在目标分位附近密度连续且为正时，经验分位的随机逆可线性化，余项由局部经验分布振荡控制。，得到样本中位数的渐近方差

因此中位数相对均值的效率为

按首阶方差，要获得与均值相近的精度，中位数约需 $\pi /2$ 倍样本。但在污染或重尾分布下，中位数的稳健性可能更重要；效率数值必须连同模型说明。

Hodges 规则：先建立精确风险恒等式 ​

令 $X_i$ 独立同分布于 $N(\theta ,1)$，记样本均值为 ${\overline{X}}_n$，定义

阈值比均值的典型噪声尺度 $n^{-1/2}$ 大，却仍趋于零。若真实均值为零，大多数样本会落入阈值；若真实均值固定且非零，阈值最终与它分离。这个规则完全由数据决定，没有使用未知参数。

为同时处理固定与移动参数，写

这里的正态分布是每个 $n$ 的精确分布。阈值事件内外的缩放误差分别为 $-b_n$ 和 $Z$，因而有精确恒等式

其中 $R_n(\theta )=E_{\theta }[(H_n-\theta {)}^2]$ 是均方风险。事件互斥，所以平方后没有交叉项。风险计算将始终从这条式子出发；误差依分布收敛本身并不保证其二阶矩收敛。

记 $\varphi (z)=(2\pi {)}^{-1/2}{e}^{-z^2/2}$，$\mathrm{\Phi }(c)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^c\varphi (z)dz$。利用 ${\varphi }^{\prime }(z)=-z\varphi (z)$ 分部积分，对 $c>0$ 得到

同时，$E{e}^{tZ}=e^{t^2/2}$，对 $e^{cZ}$ 使用Markov 不等式理路Markov 不等式Markov's inequality非负随机变量超过阈值的概率由其期望除以阈值控制。可得 $P(Z\ge c)\le e^{-c^2/2}$；对 $-Z$ 同理，所以 $P(|Z|\ge c)\le 2e^{-c^2/2}$。这两个显式尾界足够处理以下所有二阶矩。

固定参数点：零点的超效率与其他点的通常极限 ​

在 $\theta =0$ 时，$b_n=0$，故

事实上，对任意确定的正数序列 $r_n$ 和任意 $\epsilon >0$，$P_0(|r_n{H}_n|>\epsilon )\le P_0(H_n\ne 0)\to 0$。因此无论选择多快的确定缩放，$r_n{H}_n$ 都依概率趋于零；这句话谈的是概率收敛，不能改写成任意速度的矩收敛。根号 $n$ 缩放的极限是零点的点质量，并非具有正方差的正态分布。

若固定 $\theta \ne 0$，充分大的 $n$ 下 $c_n=\sqrt{n}|\theta |-a_n>0$。由三角不等式，$A_n\subset \{|Z|\ge c_n\}$，所以 $P_{\theta }(H_n={\overline{X}}_n)\to 1$，进而 $\sqrt{n}(H_n-\theta )\Rightarrow N(0,1)$。风险也回到均值的基准，但需要单独证明。由精确恒等式及 $E{Z}^2=1$，

最后一步用到固定非零 $\theta$ 下 $c_n\sim \sqrt{n}|\theta |$，指数衰减压过前面的 $n$。所以该规则在每个固定非零点都有通常极限，而零点却表现得特别好；仅看这些逐点结论，还看不到它的不正则性。

根号 n 局部参数：中心化极限随方向变化 ​

现在让真参数为 ${\theta }_n=h/\sqrt{n}$，其中 $h$ 固定。此时 $b_n=h$，$a_n\to \mathrm{\infty }$ 给出 $P_{{\theta }_n}(A_n)\to 1$。缩放误差在高概率事件上精确等于 $-h$，所以

中心化后的极限依赖 $h$，违反零点处正则性的量词。相比之下，样本均值对每个 $h$ 都有 $\sqrt{n}({\overline{X}}_n-{\theta }_n)\sim N(0,1)$。模型本身的正态结构并没有使阈值估计规则变得正则。

取 $c_n=a_n-|h|>0$，有 $A_n^c\subset \{|Z|>c_n\}$。于是

局部缩放风险因此趋于 $h^2$；只要 $|h|>1$，它就超过样本均值对所有参数均成立的精确缩放风险 $1$。以下表格把固定点和移动参数放在同一个中心化标准下比较。

更大的收缩邻域：最坏风险比发散 ​

上面的固定 $h$ 证明了不正则，但还没有证明一个邻域内的缩放风险随 $n$ 发散。为此取阈值内部的参数 ${\theta }_n=\frac{1}{2}{n}^{-1/4}$，于是 $b_n=a_n/2$。事件 $|Z|\le a_n/2$ 包含于 $A_n$，所以

反向也可控制：$A_n^c\subset \{|Z|>a_n/2\}$，故精确恒等式给出

两界夹逼得到 $R_n({\theta }_n)\sim \frac{1}{4}{n}^{-1/2}$。与样本均值的 $1/n$ 相比，风险比渐近为 $\sqrt{n}/4$。特别是

这仍是一个缩向零的邻域，却比 $1/\sqrt{n}$ 尺度大。两个尺度回答不同问题：固定 $h/\sqrt{n}$ 揭示中心化极限为何不正则，$n^{-1/4}$ 邻域则定量揭示阈值抹去信号所造成的风险损失。不能把点态极限先取完，再当作对这些移动参数一致成立的结论。

与有限样本界的区别 ​

Cramér–Rao 下界理路Cramér–Rao 下界Cramér–Rao lower bound · Information inequality正则可微模型中由 score 协方差恒等式推出的方差与 MSE 下界、等号条件及非正则边界。针对正则、通常无偏的有限样本估计量；渐近效率允许 $O(1/n)$ 偏差，只要求首阶局部展开达到信息逆。MLE 常渐近有效，却未必有限样本无偏或逐样本达到 Cramér–Rao 等号。

进一步假定估计量有影响函数展开

令 $s_{{\theta }_0}(X)$ 为单观测得分。在通常可交换微分与积分的条件下，正则影响函数满足 $E\psi =0$、$E(\psi s^{\mathsf{T}})=I_k$。写成

即可得到 $V=I^{-1}+E(r{r}^{\mathsf{T}})⪰I^{-1}$。这给出信息界的直接证明，也说明等号何时成立：多出的正交噪声 $r$ 必须几乎处处为零。

边界与失败情形 ​

模型失配时得分方差与负 Hessian 的期望不同，信息逆不再等于夹心协方差；仍称“达到 Fisher 界”会比较错对象。

边界、不可识别、半参数干扰项或非 $\sqrt{n}$ 速率问题需要切空间与有效信息等推广。奇异信息矩阵不能直接求逆。

渐近方差相同不代表方法同样好。高阶偏差、异常值敏感性和优化失败可主导实际样本。

样本量换算只是首阶解释：若方差近似 $v/n$，渐近方差比对应达到同一标准误所需的样本比。固定样本下的偏差、离散性和优化失败不会被 ARE 捕获，所以 $2/\pi$ 不能解释成所有样本量上的精确性能百分比。

效率依赖模型和目标方向。光滑一一重参数化下，非零 Jacobian 会同时缩放两个标量方差，相对效率保持；导数退化或向量目标降维时必须重算。用行列式压缩向量协方差，还可能掩盖科学上关键方向的损失。

局部渐近正态理论把正则统计实验近似为高斯位移实验，信息逆成为可达到的局部协方差界。一步估计量可从足够好的初值加一次得分更新获得首阶效率。例如在得分足够光滑、信息非奇异及余项可控时，$\sqrt{n}$ 一致初值 ${\tilde{\theta }}_n$ 可更新为

泰勒展开让初始误差的一阶项被抵消；若只知道初值趋于真值、没有速率与光滑性控制，二阶余项可能大于 $n^{-1/2}$，一次更新便不保证有效。

报告效率时应列出模型、参数点、缩放、损失方向及比较基准，避免脱离量词的百分比。

局部备择 ${\theta }_n={\theta }_0+h/\sqrt{n}$ 提供更完整比较：有效估计量的极限均值随 $h$ 平移，协方差达到信息逆；额外影响函数噪声会在所有局部方向增加方差。只看固定真值下一个点的方差，可能漏掉非正则超效率在邻域付出的代价。

半参数模型中的干扰参数可以是无限维函数；将目标参数得分投影到干扰切空间的正交补，所得有效得分决定相应效率界。半参数效率与有效影响函数理路半参数效率与有效影响函数Semiparametric efficiency · Efficient influence function · Canonical gradient · 典范梯度用可微子模型的得分空间刻画正则估计的首阶方差界，并完整求出随机缺失均值的有效影响函数。从可微子模型构造闭得分空间，完整求出随机缺失均值的效率界，并用两层人群比较有效系数 $11/3$ 与已知设计普通 IPW 的 $13/3$。这个比较还说明为何未知倾向概率时不能直接使用 oracle 权重的影响函数。