部分识别与可达锐界

证明界有效，只完成了一半 ​

逐点有

取期望即得式(2)的包含。也可由全期望公式理路全期望公式与全方差公式Law of total expectation · Law of total variance · Iterated expectation借助条件信息分解总体均值，并把总波动拆成组内与组间两部分。写成

来理解，但在$p=0$或一时必须避免未定义的条件均值。

要证明端点真的能发生，保留$R$的分布和所有$R=1$时的$Y$分布，分别在$R=0$时把$Y$设为$a$或$b$。这两份完整律有同一个$Q$，却分别给出$\ell ,u$。再以概率$\lambda$选择第二份完整律、以概率$1-\lambda$选择第一份，得到的观测律仍为$Q$，均值为$(1-\lambda )\ell +\lambda u$。因此区间内没有缺口。

如果结果是二元变量，不能把每个未见结果填成0.4，但可以令未见人群中40%为一、60%为零。构造的是总体分布，不必把总体权重误当成某一份有限表的整数人数。

附加假设的作用是删除相容律 ​

若在同一个观测律$Q$下，将模型从$\mathcal{M}$缩为${\mathcal{M}}^{\prime }\subseteq \mathcal{M}$，则

更多样本让$Q$估得更准；更强假设则改变哪些完整律被允许。这两种缩窄来自不同地方。若假定$E(Y\mid R=0)=E(Y\mid R=1)$且$0<p<1$，均值就缩成回答者均值，但这项等式涉及缺失结果，不能仅凭已有回答验证。

还要保持相容约束共同成立。例如两个识别区间分别包含一个参数，不表示它们笛卡尔积内的每个参数对都可同时实现。研究差、比或其他非线性目标时，应在同一份完整律上优化，不能任意拼接不相容的边缘端点。

六成回答的两个完整世界 ​

令$P(R=1,Y=1)=9/20$、$P(R=1,Y=0)=3/20$、$P(R=0)=2/5$。观测律给出$p=3/5,m=9/20$，所以

下端世界把全部未回答者设为零，上端世界把他们设为一。两份世界的问卷记录分布逐项相同。把未回答者的一半设为一便得到均值$13/20$，同样相容。集合宽度为$2/5$，正好等于未回答比例乘支持宽度。

左图端点来自不同完整总体。右图固定相同经验比例，按后文式(5)显示不同样本量的保护区间；最下行才是已知观测律时的识别集合。横轴没有给均值分配后验概率。

不假定交换性时，二元处理仍有锐界 ​

在潜在结果框架理路潜在结果框架Potential outcomes framework · Rubin causal model用同一单位在各个明确干预下的潜在结果定义因果效应，并把观测机制与科学目标分离。下，令$Y(0),Y(1)\in [0,1]$，观察$A\in \{0,1\}$和$Y=Y(A)$。不要求$A$独立于潜在结果。写

对总体平均效应$\tau =E\{Y(1)-Y(0)\}$，准确集合为

下端可同时达到：对实际处理者把未见$Y(0)$设为一，对实际对照者把未见$Y(1)$设为零，所有已见结果不动。上端则交换这两种填法。两份完整律的凸混合仍遵守一致性与有界性，给出每个中间效应，所以这一次两个边缘极值确实可在同一模型内配合。

取$p=1/2$，处理者均值$3/4$、对照者均值$1/4$。粗差为$1/2$，但$m_1-m_0=1/4$，于是

下端补全产生负效应，上端产生正效应，二者有相同观测律。式(4)的宽度恒为一，而且一定包含零：因为$0\le m_1\le p$、$0\le m_0\le 1-p$。仅凭这种有界性和观察资料，还不能确定效应符号。

支持必须是关于总体的已知信息 ​

若结果不受已知有限界约束，缺失比例为正时，可以把未见结果放到任意大的正数或负数上，使完整均值任意移动。每一份补全都可以有有限期望，却不存在统一有限锐界。将样本最小值和最大值当成总体支持，会排除完全合法的未见尾部。

识别也不同于有限表补全。例如已固定十个单位、其中四个缺失且结果二元，均值只能以$1/10$为步长变化；总体概率律模型下的连续区间与这个离散目标不同。必须先说明是哪个模型的相容集合。

为整个识别集合加上有限样本保护 ​

现在才引入抽样：$O_1,\dots ,O_n$独立同分布，仍使用事前已知$a<b$。每条记录可计算

其期望就是$\ell ,u$，两者都在$[a,b]$中。同一条记录的$L_i,U_i$可以相关，不影响下面的两个单独集中界。给定事先固定$0<\alpha <1$，令

对$\bar{L}-\ell$和$u-\bar{U}$分别应用Hoeffding单侧界理路Hoeffding 不等式Hoeffding's inequality独立有界随机变量和偏离期望的概率以平方偏差的指数速度衰减。，每个失败概率至多$\alpha /2$。并集界理路并集界Union bound · Boole 不等式多个坏事件中至少一个发生的概率，不超过各事件概率之和。遂给出

这是覆盖整个识别集合的共同事件，因而也覆盖任意相容完整律的真实均值。式(5)不是最短区间，但不需要估计缺失机制或使用渐近正态近似。因为$\bar{L}\le \bar{U}$且二者落在$[a,b]$，区间始终非空。

即使$n$很大，式(5)也趋向$[\ell ,u]$，一般不会缩成一点。计算$\bar{L},\bar{U}$只需$O(n)$时间和$O(1)$累加空间；误差半径与识别宽度应分别报告。依赖记录、数据后选择支持界或反复查看直到显著，均不由这条固定样本保证覆盖。

下一步要缩的是哪种不确定性 ​

若额外了解选择如何受处理影响，Lee选择界理路Lee 选择界与分数截尾Lee selection bounds · Lee trimming bounds · 单调选择下的锐界在随机处理和单调选择下，对始终可见人群的平均效应给出可达截尾界，保留原子分数质量，并推导条件化后的正确人群权重。可以换一个明确的潜在人群目标，用截尾构造更窄的识别集合。若已有配对研究，却只愿限制处理分配偏离公平币的程度，Rosenbaum敏感性分析理路Rosenbaum 配对敏感性分析Rosenbaum matched-pair sensitivity analysis · Gamma sensitivity bounds · 配对隐蔽偏差界对独立匹配对的未知处理概率施加Gamma限制，证明非负固定权重单侧尾的可达最坏界，构造有效p值和精确卷积，并分清双侧与恒定效应反演的责任。则优化一族零假设分配律的尾概率。前者的输出是可能效应，后者的输出是最坏检验概率；两者都需要写出允许模型，不能靠“保守”二字代替证明。