Lee 选择界与分数截尾

三种潜在人群与一份混合分布 ​

式(1)只允许三种类型：始终可见$(S(0),S(1))=(1,1)$、仅处理后可见$(0,1)$、始终不可见$(0,0)$。它们的总体质量依次为

所以对照组可见者全是$A$；处理组可见者中，$A$占$p_0/p_1=a$。若$F_A,F_I$分别为这两类人的处理结果分布，则

我们知道混合分布和份额，但不知道哪部分属于$A$。让最低的$a$份额属于$A$，就把$A$的处理均值压到最小；让最高份额属于$A$，则推到最大。这是求相容人群，不是说应把实际数据中某些人的结果永久删除。

有原子时怎样“恰好保留” ​

先看$0<a<1$。取下分位阈值$c=inf\{y:F(y)\ge a\}$，则

全部保留$Y<c$，在$Y=c$处只保留缺少的质量$a-P_F(Y<c)$。因此

上端取$d=inf\{y:F(y)\ge 1-a\}$，全部保留$Y>d$，再从阈值原子中补足，得到

若阈值处没有原子，需要补的质量为零。这些公式允许负结果和无界支持，只要求绝对可积。$a=1$单列为${\mu }_{-}={\mu }_{+}=E_{F}Y$，不必把无穷分位端点代进公式。

为什么任何其他保留方式都不会越界 ​

任一相容的$A$分配可写为保留概率$h(y)=P(A\mid Y(1)=y,S(1)=1)$，其中$0\le h\le 1$、$E_{F}h=a$。它的处理均值为$E_F(Yh)/a$。

令$h_{-}$表示刚才的低端保留规则。对每个$y$都有

因为$c$以下$h_{-}=1$，两个因子都非正；$c$以上$h_{-}=0$，两个因子都非负；在$c$处乘积为零。积分并使用$E_{F}h=E_F{h}_{-}=a$，便有

高端规则同理给反向不等式。这个证明同时涵盖连续值、并列原子和分数保留，并没有假设数据无并列。

如何造出达到端点的完整世界 ​

给定任一合法$h$，在总体中先按$p_0,p_1-p_0,1-p_1$生成三种选择类型。在$A$中令$Y(1)$的分布为$hdF/a$，在仅处理可见类型中令它的分布为$(1-h)dF/(1-a)$；后者只在$a<1$时需要。令$A$中的$Y(0)$具有观察到的对照可见分布，与其$Y(1)$如何耦合可任选，因为这里目标只用边缘均值。其余从未可见的潜在结果任选可积值。

最后独立产生$D$。这份完整律满足随机化与单调性，恢复全部观测律，并达到$h$指定的效应。取$h_{-}$、$h_{+}$就得到两端；对两个规则作凸混合仍满足$E_{F}h=a$，给出每个内部值。于是式(4)确实是锐界。

截到一个原子的中间 ​

设$p_0=1/2,p_1=3/4$，故$a=2/3$。处理组可见结果分布为

低端先取全部$1/4$的零，再从结果二处取$2/3-1/4=5/12$的质量。高端先取全部$1/4$的六，再从二处取同样的$5/12$。因此

处理可见者均值为$5/2$，粗差为$3/2$，位于界内，却没有被点识别为始终可见人群的效应。若低端直接保留所有$Y\le 2$，保留了$3/4$而非$2/3$，得到均值$4/3$；这是另一种份额，不能替代$5/4$。

图中每列高度是概率质量，取样界线穿过并列原子是数学上必要的分数分配；并不是把一个人的实际结果改小。

选择率相等，仍需单调性 ​

在单调性下，若$p_0=p_1>0$，则非负变量$S(1)-S(0)$的期望为零，因而它几乎处处为零。两臂可见者对应同一潜在人群，$a=1$，界缩成均值差。

去掉单调性，选择率相等却可能由反向转换抵消。构造四个各占$1/4$的类型：始终可见者有$Y(0)=Y(1)=0$；仅对照可见者有$Y(0)=2$；仅处理可见者有$Y(1)=8$；另有始终不可见者。随机化后$p_0=p_1=1/2$，两臂可见均值分别为一和四，粗差为三，但始终可见者真实效应为零。表面的$p_1\ge p_0$只是一条必要的边缘检查，不证明逐人的单调性。

方向、空人群和目标不能混淆 ​

若合理假设是$S(1)\le S(0)$，应截尾对照可见分布，保留$p_1/p_0$；处理可见均值已经属于$A$。若对照截尾均值为${\nu }_{-},{\nu }_{+}$，效应界是$[{\mu }_1-{\nu }_{+},{\mu }_1-{\nu }_{-}]$，相减会交换上下端。

若$p_0=0$且假设$S(1)\ge S(0)$，则$P(A)=0$，式(2)的条件效应没有定义，不能报告一个“无限宽Lee区间”。若总体$p_1<p_0$，则它与所声明的向上单调模型矛盾；有限样本估计率逆序则可能只是抽样波动，需要另行推断，不能擅自交换处理标签。

本页目标不是整个总体ATE，也不是实际处理组全部可见者的效应。支持无界时仍可约束$A$的均值，恰是因为这个人群的两份潜在结果都在相应可见混合物中，而非因为未见者的结果被设成零。

先在层内截尾，再用目标人群权重平均 ​

设处理前协变量$X$取有限多个值，$w_x=P(X=x)>0$，各层处理概率在零与一之间。将式(1)的独立性改为给定$X$的条件独立，保留全体的选择单调性。写$p_{dx}=P(S=1\mid D=d,X=x)$，假定$p_{0x}>0$。每层得到$[L_x,U_x]$，但总体目标不是按$w_x$简单平均。

由全期望公式理路全期望公式与全方差公式Law of total expectation · Law of total variance · Iterated expectation借助条件信息分解总体均值，并把总波动拆成组内与组间两部分。和Bayes公式，始终可见者中的层权重为

所以准确界为

每层可独立选择达到端点的完整律，再以$w_x$混合并按各层既定概率分配处理，证明两端同时可达。若某层$p_{0x}=0$，它在目标$A$中权重为零，应排除这一未定义条件效应；只需总分母为正。

若处理还独立于$X$，不使用$X$的总体Lee界也有效。加入全部层内限制只会删去相容律，因此条件化界不会更宽。若分配率本身随$X$改变，直接混合两臂不能继续声称无条件随机化，比较粗界前须重新检查这一前提。

有限分布的可执行算法 ​

对支持点$y_1<\cdots <y_k$及概率$f_j$，从低端累加质量，最后一个点只取剩余所需质量；从高端反向做一次。排序需$O(k\log k)$比较，排好序后各做$O(k)$次运算，输出保留质量向量$(r_j)$，并检查

这三个等式和不等式构成可独立核验的截尾证书。原子概率为有理数时可全程精确计算。将经验频率代入可得到估计的界，但它本身不是置信区间；估计选择率、分位点及边界时的抽样误差需要独立处理，本页不把人口层面的锐性冒称有限样本覆盖。