均匀样本的随机间距

形式陈述

在单位区间上随机放置 $n$ 个点，留下的 $n+1$ 段长度怎样共同变化？设整数 $n\ge1$ ， $U_1,\ldots,U_n$ 是来自 $(0,1)$ 均匀分布的独立同分布样本。将其排序并加入固定端点

U_{(0)}=0<U_{(1)}<\cdots<U_{(n)}<U_{(n+1)}=1.

定义间距 $D_i=U_{(i)}-U_{(i-1)}$ ， $1\le i\le n+1$ 。它们非负、总和为一，其联合分布是参数全为一的 Dirichlet 分布，即一类支持在单纯形上的联合概率律。精确地说，前 $n$ 个坐标的密度是

f(d_1,\ldots,d_n)=n!\,\mathbf1_{\{d_i>0,\ \sum_{i=1}^n d_i<1\}}, \qquad D_{n+1}=1-\sum_{i=1}^nD_i.

这是相对于前 $n$ 个自由坐标的 $n$ 维 Lebesgue 密度；整个向量位于 $\mathbb R^{n+1}$ 的和为一平面上，没有普通的 $(n+1)$ 维密度。

还有一个等价构造：若 $E_1,\ldots,E_{n+1}$ 独立服从率一指数分布， $S=\sum_iE_i$ ，则

(D_1,\ldots,D_{n+1})\overset d= (E_1/S,\ldots,E_{n+1}/S).

直觉

随机切点在区间上没有偏爱的位置，但切出来的段长不独立。一段占得多，其他段就必须少一些，因为总长度固定为一。

指数归一化构造先让各段独立生成一个正“份额”，再一起除以总份额。独立性存在于归一化之前；共享同一个分母之后，长度约束与负相关就出现了。

例子与边界

两个切点留下三段

取 $n=2$ 。前两个间距 $(D_1,D_2)$ 在三角形 $d_1>0,d_2>0,d_1+d_2<1$ 上密度为二，第三段为 $1-d_1-d_2$ 。

每一段的边缘密度都是 $2(1-d)$ ， $0<d<1$ ，所以

ED_i=\frac13,\qquad ED_i^2=\frac16, \qquad\operatorname{Var}(D_i)=\frac1{18}.

对不同两段直接积分，

E(D_1D_2)=2\int_0^1\int_0^{1-d_1}d_1d_2\,dd_2\,dd_1=\frac1{12},

因此 $\operatorname{Cov}(D_1,D_2)=1/12-1/9=-1/36$ ，相关系数为 $-1/2$ 。两段不可能都很长，联合几何给出可量化的负依赖。

最长一段超过 $1/2$ 的事件也容易算。任意一段超过 $1/2$ 的概率为 $(1/2)^2=1/4$ ，而两段不能同时严格超过 $1/2$ ，所以

P\left(\max(D_1,D_2,D_3)>\frac12\right)=\frac34.

均匀切点不等于独立均匀段长

若独立抽三个 $V_i\sim\operatorname{Unif}(0,1)$ 再归一化，虽然结果也正且和为一，却一般不是均匀单纯形分布。归一化后的密度取决于允许总长度的范围，偏向某些比例。上面的指数构造之所以正确，是因为其联合密度在分离出总和后恰好不再依赖比例。

若原数据来自一般连续总体，应用真实分布函数 $F$ 后的 $F(X_i)$ 才均匀；原始数值间距 $X_{(i)}-X_{(i-1)}$ 通常没有本页分布。概率坐标间距与原始单位间距必须分开。

推论与应用

排序与间距变换的 Jacobian

独立均匀点的联合密度为一。除去概率零的并列情形，每个有序向量恰对应 $n!$ 种原始标签顺序，所以排序后的联合密度在 $0<u_1<\cdots<u_n<1$ 上为 $n!$ 。

从 $d$ 回到 $u$ 的变换是 $u_j=d_1+\cdots+d_j$ 。其Jacobian矩阵为下三角、对角元全为一，行列式为一。于是密度保持 $n!$ ，支持从有序区域变成间距单纯形。

指数总和与比例怎样分离

令 $E_i=SD_i$ （ $i\le n$ ）、 $E_{n+1}=S(1-\sum_{i=1}^nD_i)$ 。从 $(D_1,\ldots,D_n,S)$ 到 $(E_1,\ldots,E_{n+1})$ 的 Jacobian 绝对值为 $S^n$ 。指数样本的联合密度 $e^{-\sum E_i}$ 因而变成

e^{-s}s^n\mathbf1_{\{s>0,\ d_i>0,\sum d_i<1\}} =\left(\frac{s^ne^{-s}}{n!}\right) \left(n!\mathbf1_{\{d_i>0,\sum d_i<1\}}\right).

它分解为总和密度与比例密度，既证明间距表示，也证明比例向量与指数总和独立。对 $s$ 积分使用 $\int_0^\infty s^ne^{-s}ds=n!$ ，归一化可直接核验。

一般边缘与最长空隙

由单纯形切片， $D_i$ 的密度为 $n(1-d)^{n-1}$ 。因此

ED_i=\frac1{n+1},\qquad \operatorname{Var}(D_i)=\frac{n}{(n+1)^2(n+2)},\qquad \operatorname{Cov}(D_i,D_j)=-\frac1{(n+1)^2(n+2)}\ (i\ne j).

最后一式也可用交换对称性与 $\operatorname{Var}(\sum_iD_i)=0$ 得出。

若指定 $j$ 段都超过 $x$ ，先从每段减去 $x$ ，剩余单纯形的总长度为 $1-jx$ ，体积按其 $n$ 次方缩放。对这些事件应用有限概率形式的容斥原理，得到最长间距 $D_{\max}$ 的完整分布：

P(D_{\max}\le x) =\sum_{j=0}^{n+1}(-1)^j\binom{n+1}{j}(1-jx)_+^n, \qquad x>0.

它能量化随机布点留下大空隙的概率，而不是只报告平均间距 $1/(n+1)$ 。

参考资料

Anirban DasGupta, 《Finite Sample Theory of Order Statistics and Extremes》，§6.4.2, Theorem 6.6，均匀间距的单纯形律与指数表示。

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两个切点留下三段 ​

均匀切点不等于独立均匀段长 ​

排序与间距变换的 Jacobian ​

指数总和与比例怎样分离 ​

一般边缘与最长空隙 ​