矩阵的量子块编码

非酉矩阵可能压缩某些方向、放大另一些方向；完整量子门却必须保持范数。先把矩阵除以足够大的尺度，再放进一个更大的酉中，剩余矩阵块就负责接收丢失的幅度。

这个“左上角”的承诺让不同算法能接在一起：使用者不必了解 $U$ 的所有其余条目，只要知道归一化、误差和辅助位接口。不过连接两个块时，不能让第一步流到失败空间的振幅在第二步偷偷流回成功空间。

一个写得出来的四阶酉扩张 ​

令 $A=\mathrm{diag}(1,1/2)$，$D=\sqrt{I-A^2}=\mathrm{diag}(0,\sqrt{3}/2)$。定义

基顺序为辅助在前的 $00,01,10,11$。因为 $A,D$ 对易且 $A^2+D^2=I$，直接相乘得 $U_A^2=I$；它又自伴，所以酉。这是 $A$ 的 $(1,1,0)$块编码。

对输入 $|0⟩|+⟩$，辅助0分支为 $(|0⟩+\frac{1}{2}|1⟩)/\sqrt{2}$，成功概率为 $5/8$，成功态为 $(2|0⟩+|1⟩)/\sqrt{5}$。其余概率并未消失，而是留在辅助1分支。

一般收缩矩阵也存在酉扩张；但写出含矩阵平方根的存在性公式，不等于已经给出了高效量子门分解。显式扩张和高效输入访问是不同问题。

复用同一辅助位，矩阵乘法会错在哪里 ​

如果把式 (2) 的 $U_A$ 连做两次，并只在最后检查辅助0，由 $U_A^2=I$ 得到的成功块为 $I$。

然而想要的矩阵乘积是 $A^2=\mathrm{diag}(1,1/4)$，不是 $I$。多出的部分来自路径：第一次进入辅助1，第二次又回到辅助0。形式上，

第二项就是不该混进纯矩阵乘积的返回路径。只知道每个门的左上角，不能删除它。

独立辅助寄存器给出真正的乘法 ​

设 $U_A$ 编码 $A/\alpha$，使用辅助 $a$；$U_B$ 编码 $B/\beta$，使用另一组辅助 $b$。先在 $b$ 和数据上施 $U_B$，再在 $a$ 和数据上施 $U_A$，各自对另一组辅助恒等。

把两组辅助都投影为0时，$b$ 中的失败振幅无法被只操作 $a$ 的第二步改回0，所以成功块恰为

因此精确情况下得到 $(\alpha \beta ,a+b,0)$块编码，使用两次子程序调用。顺序是先 $B$ 后 $A$，与矩阵 $AB$ 一致。[1, Lemma 53]

误差与归一化一起传播 ​

记实际两个归一化块乘回尺度后为 $\tilde{A},\tilde{B}$，满足

若另有 $\Vert B\Vert \le \beta$，则

如果只使用定义自动给出的 $\Vert B\Vert \le \beta +{\epsilon }_B$，保守界应改为

这说明为什么算术定理中的范数尺度承诺不能漏写。归一化变大也会降低直接应用到态后的成功概率，所以“能组合”不表示“成功成本不变”。

LCU与块编码的关系 ​

LCU公理库酉算子的线性组合实现Linear combination of unitaries · LCU method用PREP、SELECT和逆制备把矩阵线性组合实现为辅助零分支，显式计算I加2Z的成功和失败输出，并把选择访问、相位和后选择成本纳入契约。给出一个具体来源：若 $A=\sum _j{\alpha }_j{U}_j$，PREP–SELECT–PREP逆的左上块为 $A/\sum _j{\alpha }_j$。块编码把这条构造抽象成接口，之后可换用不同的实现方法而保留上层算法。

$U^{†}$ 的同一辅助块编码 $A^{†}$，尺度与误差不变；这是后续奇异值变换公理库量子奇异值变换Quantum singular value transformation · QSVT在投影酉接口上交替原门与逆门，实现有界奇偶多项式的奇异值响应，明确左右空间、额外实部辅助、查询次数和输入误差，并用非对称矩阵区分A立方。交替访问原矩阵与伴随的关键。对于Hermitian信号，还可进一步构造二维旋转子空间公理库Qubitization 与二维信号子空间Qubitization从Hermitian信号块构造两反射量子行走，逐本征值推导二维旋转、端点退化和Chebyshev响应，并说明一般块编码所需的额外受控访问。。

最后，若输入 $|\psi ⟩$ 被映到辅助0分支，所得操作为 $A|\psi ⟩/\alpha$，必须带概率解释。块本身通常不是迹保持量子信道，也不会把全部经典坐标自动输出；其优势与局限都取决于后续量子态任务和读出需求。