Kähler微分 | Codeboy's Blog

同一个多项式既可以按坐标求导，也可以先用方程消去某些变量。两种做法怎样得到相容的结果？Kähler微分把求导规则和原有代数关系一起保存在一个模里；它在有奇点或幂零元的环上仍有定义。

形式陈述

固定哪些元素不动

设 $R\to A$ 是交换含幺环的保幺同态， $M$ 是一个 $A$ -模。一个 $R$ -微分导子（derivation，以下简写导子）是映射 $D:A\to M$ ，满足

D(a+b)=D(a)+D(b),\qquad D(ab)=aD(b)+bD(a),\qquad D(r)=0\quad(r\in R).\tag{1}

最后一式指 $R$ 在 $A$ 中的像。它指定哪些系数视为常数。导子通常不是 $A$ -线性的：例如 $D(x^2)=2xD(x)$ ，而 $A$ -线性会要求 $D(x^2)=xD(x)$ 。

对每个 $a\in A$ 放一个符号 $[a]$ ，形成自由模 $F=\bigoplus_{a\in A}A[a]$ 。再除以下列元素生成的子模：

[a+b]-[a]-[b],\qquad [ab]-a[b]-b[a],\qquad [r]\quad(r\in R).

所得商模记作 $\Omega_{A/R}$ ，符号 $[a]$ 的商类记作 $da$ 。映射 $d:a\mapsto da$ 本身满足式(1)。这个模称为 $A$ 相对 $R$ 的Kähler微分模。

它具有以下泛性质：任意 $R$ -导子 $D:A\to M$ 都唯一写成 $D=\varphi\circ d$ ，其中 $\varphi:\Omega_{A/R}\to M$ 为 $A$ -线性映射。因此

\operatorname{Hom}_A(\Omega_{A/R},M) \cong\operatorname{Der}_R(A,M),\qquad \varphi\longmapsto\varphi\circ d.\tag{2}

存在性来自把自由生成元 $[a]$ 送到 $D(a)$ ：式(1)恰好保证所有关系被送到零。唯一性来自全部 $da$ 生成微分模。这也证明构造不依赖另选了怎样的坐标；任何满足同一泛性质的对象，都有由 $d$ 唯一决定的双向逆同构。

有限方程给出有限矩阵

对多项式环 $P=R[x_1,\ldots,x_n]$ ，有

\Omega_{P/R}=\bigoplus_{i=1}^nP\,dx_i, \qquad df=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i.\tag{3}

乘法法则对单项式逐次展开，证明这些 $dx_i$ 生成。反过来，各形式偏导 $\partial/\partial x_i:P\to P$ 都是导子；把任一关系送入这些导子，会逐一读出关系的系数，所以它们线性无关。

若 $A=P/I$ ，且 $I=(f_1,\ldots,f_s)$ ，则

\boxed{\quad \Omega_{A/R}\cong A^n\Big/\left\langle \left(\frac{\partial f_j}{\partial x_1},\ldots, \frac{\partial f_j}{\partial x_n}\right):1\le j\le s \right\rangle_A.\quad}\tag{4}

偏导系数在 $A$ 中取类。给定导子后，各 $D(x_i)$ 可以自由指定到 $M$ ，但必须满足 $D(f_j)=0$ ；这些线性条件也足以保证导子从 $P$ 降到 $A$ 。因为若 $f=\sum h_jf_j\in I$ ，则在 $A$ 中

df=\sum_jh_j\,df_j+\sum_jf_j\,dh_j=\sum_jh_j\,df_j.

因此用一组理想生成元的偏导确实足够。这个结论说的是微分模的关系；不能迁移成“每种初始理想都只需处理原生成元”。切锥将给出反例。

直觉

$dx_i$ 可以看作尚未指定数值的“一阶变化”。原方程 $f=0$ 要继续成立，就要求它的一阶变化 $df=0$ 。先把这些限制保留下来，之后任何具体导子都只是给各个 $dx_i$ 赋值，而且必须尊重已有关系。

这份模比“在一个点代入Jacobian”多保留了一层信息。Jacobian核只看到那个点的数值；微分模中的系数仍是函数，因而可以记录某个非零微分被非零函数杀掉的现象。下面尖点的扭元正是这样出现的。

例子与边界

直线、抛物线和双数

对 $A=k[x,y]/(y-x^2)$ ，式(4)只有关系

dy=2x\,dx.

所以 $\Omega_{A/k}=A\,dx$ ，与把 $A$ 写成 $k[x]$ 后的结果一致。坐标数是二，不等于微分模的自由秩是二。

对 $A=k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ ，则

\Omega_{A/k}=A\,d\varepsilon/(2\varepsilon\,d\varepsilon).

若 $\operatorname{char}k\ne2$ ，它同构于 $(A/(\varepsilon))d\varepsilon$ ，其中 $d\varepsilon\ne0$ ，却有 $\varepsilon d\varepsilon=0$ 。若特征为2，关系变成零，微分模反而是自由模 $A\,d\varepsilon$ 。形式偏导在任何特征都有意义，系数中的整数却可能变为零。

尖点中确有非零微分被参数化抹去

以下取特征零域 $k$ ，令

A=k[x,y]/(y^2-x^3)=k[t^2,t^3],\qquad B=k[t],\qquad x=t^2,\ y=t^3.

$B$ 是 $A$ 的整闭包。两者之间的包含诱导 $A$ -线性映射

\rho:\Omega_{A/k} =\frac{A\,dx\oplus A\,dy}{A(-3x^2\,dx+2y\,dy)} \longrightarrow B\,dt, \qquad dx\mapsto2t\,dt,\quad dy\mapsto3t^2\,dt.\tag{5}

取

\tau=3y\,dx-2x\,dy.

代入式(5)得到 $\rho(\tau)=0$ 。但只检查这一等式，还没有证明 $\tau$ 在源模中非零，也没有找全核。下面把两件事一起解决。

任一核元素由 $(a,b)\in A^2$ 表示，满足 $2ta+3t^2b=0$ ，即 $a=-\tfrac32tb$ 。因为 $A$ 正是常数项加上次数至少2的多项式， $tb\in A$ 当且仅当 $b$ 的常数项为零。因此

b\in(x,y),\qquad b=r x+s y\quad(r,s\in A).

于是

(a,b)=r(-\tfrac32y,x)+s(-\tfrac32x^2,y).

第二个向量是定义关系的一半，故在 $\Omega_{A/k}$ 中为零；第一个向量是 $-\tau/2$ 。所以 $\ker\rho=A\tau$ ，没有漏掉别的核生成元。

接着求 $c\tau=0$ 的全部条件。它等价于存在 $h\in A$ 使

c(3y,-2x)=h(-3x^2,2y).

在分式域 $k(t)$ 中比较第二坐标，得到 $h=-c/t$ ；代回第一坐标自动成立。因此

\operatorname{Ann}_A(\tau) =\{c\in A:c/t\in A\} =(y,x^2).\tag{6}

最后一步可逐次幂检查： $c$ 不能有常数项和 $t^2$ 项，其余允许幂为 $t^3,t^4,t^5,\ldots$ ，恰由 $y=t^3,x^2=t^4$ 作为 $A$ -理想生成。于是

\ker\rho\cong A/(y,x^2) \cong k[x]/(x^2),\qquad \dim_k\ker\rho=2.\tag{7}

特别地， $\tau$ 和 $x\tau$ 非零且给出一组 $k$ -基，而 $x^2\tau=y\tau=0$ 。核是微分模的全部扭子模：把式(5)按非零元素局部化到 $k(t)$ 后，源、靶都变成以 $dt$ 为基的一维空间，且映射为同构；局部化的零判据说明原核恰由被某个非零 $A$ 元素杀掉的类组成。

式(5)的像也可以算全：它是

(2tA+3t^2A)dt=tB\,dt.

$tA$ 提供次数1及至少3的幂， $t^2A$ 再补上次数2。因此余核为 $k\,dt$ ，一维。源中的二维扭核和靶中的一维余核是两份不同缺口，不能用“参数化后只剩一维”把它们省略。

尖点微分核的两个基元素由乘x的非零作用相连，第二次乘x及乘y均为零；正规化微分映射的余核另为一维 — 维数之外，还要保留标量作用

换一个基环，答案可以改变

令 $k=\mathbb F_p(s)$ ， $K=k[u]/(u^p-s)$ 。 $s$ 不是 $k$ 中的 $p$ 次幂，故这是次数 $p$ 的纯不可分域扩张。式(4)给

\Omega_{K/k}=K\,du,

因为 $d(u^p-s)=p u^{p-1}du=0$ 。 $K$ 本身是域，因而是正则局部环，却有非零相对微分。这与完美基域上的光滑直觉不同。若改为相对 $K$ 自己求微分，则每个元素都被指定为常数， $\Omega_{K/K}=0$ 。

推论与应用

局部化、基变换和一般环映射要分清

若 $S\subseteq A$ 为乘法闭集，求导可以延伸到局部化：

d(a/s)=\frac{da}{s}-\frac{a\,ds}{s^2},\qquad \Omega_{S^{-1}A/R}\cong S^{-1}\Omega_{A/R}.\tag{8}

公式来自 $d(ss^{-1})=d1=0$ 。任何从 $A$ 到一个 $S^{-1}A$ -模的导子都必须按此延伸；若分式的差被某个分母杀掉，对其求导后该分母已可逆，便保证延伸不依赖代表元。两边因而表示同一导子问题，由式(2)互为同构。

若换基环 $R\to R'$ 并令 $A'=A\otimes_R R'$ ，则

\Omega_{A'/R'}\cong\Omega_{A/R}\otimes_R R'.\tag{9}

这里使用张量积的平衡关系定义 $d'(a\otimes r')=da\otimes r'$ 。它满足乘法法则；任一 $R'$ -导子限制到 $A$ 后，由式(2)唯一给出映射，再作 $R'$ -线性延伸。这样构造的两个方向互逆，不要求 $R'$ 平坦。

一般的 $R$ -代数映射 $A\to C$ 只有自然映射

C\otimes_A\Omega_{A/R}\longrightarrow\Omega_{C/R},\qquad c\otimes da\longmapsto c\,d(a\text{ 在 }C\text{ 中的像}),

并不总是同构。例如 $k[x]\to k$ 令 $x\mapsto0$ ，左边是 $k\,dx$ ，右边是零。式(9)同时改变了基环和代数；不能把它误写成对任意代数映射的同构保证。

从微分模读出一点的一阶变化

设 $A$ 为 $k$ -代数， $a:A\to k$ 为一个 $k$ -有理点。把 $k$ 看成经 $a$ 作用的 $A$ -模，则

\operatorname{Der}_k(A,k) \cong\operatorname{Hom}_k(\Omega_{A/k}\otimes_A k,k).\tag{10}

写 $\phi(f)=a(f)+\varepsilon D(f)$ ，其中 $\varepsilon^2=0$ 。比较 $\phi(fg)$ 与 $\phi(f)\phi(g)$ ，恰得导子乘法法则。因此式(10)还等于所有模 $\varepsilon$ 还原为 $a$ 的双数点 $A\to k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ 。完整的 $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ 与Jacobian核转换见正则局部环的一阶接口。

若输入为 $s$ 个多项式、总单项式数为 $T$ 、变量数为 $n\ge1$ ，可逐单项式构造式(4)的偏导关系；稠密指数表示下需 $O(nT)$ 次系数运算，另计指数及系数的位运算。在指定 $k$ -有理点评价后，对 $s\times n$ Jacobian作域消元即可求切空间基，成本可取 $O(n^2+sn\min\{s,n\})$ 。其中 $s=0$ 时直接给出 $n$ 个标准方向； $n=0$ 时先单独处理零变量输入。这只计算一个纤维的线性代数；整个商环上的微分模核或扭子模是另一项模关系问题，不能沿用同一个域矩阵秩当答案。

自检：尖点原点的Jacobian为零，故式(10)二维；参数线在 $t=0$ 的导数却把 $dt$ 对偶方向送到 $(2t,3t^2)=(0,0)$ 。这说明每个抽象一阶方向不必由这条给定参数化的一阶速度实现，也不等于参数化把微分模完整保留下来。

参考资料

The Stacks Project，§10.131 Differentials，Tag 00RM，Definitions 10.131.1–2、Lemmas 10.131.3、8–9、12、14–15：泛导子、局部化、商呈示与基变换。本文直接给出生成关系和反向映射证明。
The Stacks Project，§33.16 Tangent spaces，Tag 0B28，Lemmas 33.16.4–5：双数点、微分模纤维与切空间；与 $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ 的直接识别须保留剩余域条件。
J. S. Milne，Algebraic Geometry，v6.10，2024，§4(f)，Propositions 4.26–4.29，印刷页90–92：Jacobian、局部环和导子的可逆描述。尖点扭核、零化理想及像余核由本文逐项计算。

形式陈述 ​

固定哪些元素不动 ​

有限方程给出有限矩阵 ​

直线、抛物线和双数 ​

尖点中确有非零微分被参数化抹去 ​

换一个基环，答案可以改变 ​

局部化、基变换和一般环映射要分清 ​

从微分模读出一点的一阶变化 ​

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