正则局部环

$\mathfrak{m}$ 是在所选点消失的函数，${\mathfrak{m}}^2$ 则由至少二阶的乘积组成。商 $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ 只保留一次变化；它的对偶是该点的 Zariski 切空间。

实际维数数出局部几何需要多少参数，一阶维数数出线性近似看到了多少方向。正则性要求这两个数恰好相等。如果方程只有二次、三次项，一阶近似可能没有看见约束，切空间便比真正的局部空间更大。

抛物线原点：两坐标中只有一个自由方向 ​

取

关系允许消去 $y$，给出 $A\cong k[x{]}_{(x)}$，所以实际维数为一。极大理想满足 $\mathfrak{m}=(x,y)=(x)$，因为 $y=x^2$；模 ${\mathfrak{m}}^2$ 后 $y$ 变为零，而 $x$ 仍非零。因此

它是正则局部环。原先写了两个坐标，并不意味着切空间必为二维，关键在方程的一次部分。

尖点原点：线性近似漏掉了约束 ​

取

可把它看作 $k[t^2,t^3]$ 在 $(t^2,t^3)$ 处的局部环，因此是一维整环。极大理想由 $x=t^2$、$y=t^3$ 生成，而 ${\mathfrak{m}}^2$ 中元素的最低 $t$ 次数至少为四。因此任何系数不全为零的 $k$-线性组合 $ax+by$ 都不落入 ${\mathfrak{m}}^2$，得到

故尖点局部环不正则。它却是 CM：一维整环中任何非零非单位都是非零因子，深度至少为一，再由维数上界得等号。

零维与非完美基域的边界 ​

域的极大理想为零，所以维数与嵌入维数都是零，是正则局部环。双数环 $k[\epsilon ]/({\epsilon }^2)$ 则维数零、嵌入维数一，不正则；它仍是零维 CM 环。

“正则”是环自身的性质，“在 $k$ 上光滑”还涉及基域。若 $k={\mathbb{F}}_p(s)$，则 $K=k[u]/(u^p-s)$ 是域，因而正则。但在代数闭包上，方程变成 $(u-\sqrt[p]{s}{)}^p$，出现幂零厚度，所以 $\mathrm{Spec}K$ 在 $k$ 上不光滑。把正则与光滑等同，需要有限型、完美基域等相应条件。

正则性的一个深层解释是关联分次环理路分次环与齐次理想Graded ring · Homogeneous ideal通过二次关系逐层算维数，说明齐次理想何以允许商分次，并区分齐次局部化与零次比例环。

同构于 $k[X_1,\dots ,X_d]$。极大理想最小生成元给出从这个多项式环到分次环的满射，维数理论在正则情形迫使没有额外关系。配合 Krull 交定理，这也证明 $R$ 没有非零零因子：两个非零元素的最低阶项在多项式环中相乘不可能为零。

Nakayama 引理理路Nakayama 引理Nakayama's lemma用 Jacobson 根或局部环极大理想控制有限生成模的消失与生成元提升的引理。让一阶线性代数控制实际生成元，CM 性理路Cohen–Macaulay 环Cohen-Macaulay ring深度等于维数时，参数系恰好形成正则序列；通过节点、幂零厚线与嵌入点区分 Cohen–Macaulay、正则和约化。则说明这些最小参数能够逐次正则切割。二者加在一起，比单纯检查某个方程的梯度更适用于一般局部环。

双数点、微分导子与Jacobian核的可逆转换 ​

把前面的“一次变化”写成实际可计算接口。设 $A=k[x_1,\dots ,x_n]/I$ 是有限型 $k$-代数，$p:A\to k$ 是一个指定的 $k$-有理点，$\mathfrak{n}=\ker p$，并令 $R=A_{\mathfrak{n}}$、$\mathfrak{m}=\mathfrak{n}R$。这里特意要求剩余域就是 $k$；不能把非有理点的剩余域问题悄悄省去。

一个经过该点的双数点，是保 $k$ 的环同态

每个像唯一写成 $\varphi (a)=p(a)+D(a)\epsilon$。比较加法与乘法的 $\epsilon$ 系数可知，$\varphi$ 是这样的同态，当且仅当 $D$ 为 $k$-线性映射，且

这是把 $k$ 通过 $p$ 视为 $A$-模后的微分导子（derivation）理路Kähler微分Kähler differentials · Module of differentials · 卡勒微分模用生成关系构造通用微分模，把多项式关系变成Jacobian呈示，并完整计算尖点微分映到正规化后的扭核、零化理想与长度。；它是满足乘法法则的映射，与本单元稍后用于有限扩环的导子理想（conductor ideal）是不同对象。反向将任意这样的 $D$ 代回 $\varphi (a)=p(a)+D(a)\epsilon$，立即恢复环同态，故这个对应可逆。

当 $a,b\in \mathfrak{n}$ 时，右边为零，所以 $D$ 在 ${\mathfrak{n}}^2$ 上为零，其限制给出线性泛函 $\ell :\mathfrak{n}/{\mathfrak{n}}^2\to k$。反过来，给定 $\ell$，定义

恒等式

的最后一项属于 ${\mathfrak{n}}^2$，因此这个 $D$ 满足乘法法则。两种构造互为逆。局部化后，$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2\cong \mathfrak{n}/{\mathfrak{n}}^2$：每个分母 $s\notin \mathfrak{n}$ 在此商上只按非零标量 $p(s)$ 作用。于是得到坐标无关的Zariski切空间

要将它化成矩阵，设 $I=(f_1,\dots ,f_s)$，点坐标为 $a_i=p(x_i)$，写 $\varphi (x_i)=a_i+v_i\epsilon$。由于 ${\epsilon }^2=0$，逐单项式展开得到

因此合法向量恰为 $\ker J(a)$，其中 $J(a)$ 的第 $j,i$ 项是 $\partial f_j/\partial x_i(a)$。检查生成元已经充分：每个 $f\in I$ 是它们的多项式线性组合，相应导子值也为零。这条对应由环同态和 $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ 定义，换坐标或换一组理想生成元不会改变所得空间，只改变矩阵表示。

对抛物线原点，Jacobian行为 $(0,1)$，所以 $v_y=0$；对尖点原点，该行为 $(0,0)$，两个方向都允许。特征不为2时，节点 $y^2=x^2(x+1)$ 的原点同样给零行，尽管它有两条不同的一阶最低曲线分支。要区分节点的两条直线与尖点的双线关系，应保留关联分次切锥理路切锥与关联分次环Tangent cone · Associated graded tangent cone · 方案论切锥逐层保留局部函数的消失阶，证明切锥的全部最低齐次关系呈示，并用五维商环证明原生成元初项可能漏掉关键关系。，不能把二维切空间直接画成一条所见的切线。

上述导子识别带有 $k$-有理点条件。前面非完美域的例子 $K=k[u]/(u^p-s)$ 中，作为局部环的 $K$ 满足 $\mathfrak{m}=0$，但 ${\mathrm{\Omega }}_{K/k}=Kdu$。其相对微分并不为零，说明离开所列剩余域合同后，不能原样套用这里的对偶识别。

这一转换的外部定位为 The Stacks Project，§33.16 Tangent spaces，Lemmas 33.16.4–5；本文在所列有理点合同下给出了两向构造。