切锥与关联分次环 | Codeboy's Blog

尖点的Zariski切空间是整个平面，肉眼却只看到一条切线。切锥在两者之间保留更多信息：它留下方程最先出现的非零齐次项，而且不删掉这些项的重数。因此尖点对应的是一条带平方关系的双线，不只是一条普通直线。

形式陈述

从一阶商走向每一阶商

设 $(R,\mathfrak m,\kappa)$ 为Noether局部环，剩余域为 $\kappa=R/\mathfrak m$ 。其关联分次环定义为

\operatorname{gr}_{\mathfrak m}R =\bigoplus_{r\ge0}\mathfrak m^r/\mathfrak m^{r+1}, \qquad\mathfrak m^0=R.\tag{1}

若 $a\in\mathfrak m^r,b\in\mathfrak m^s$ ，乘法把两者的商类送到 $ab\bmod\mathfrak m^{r+s+1}$ 。改变 $a$ 一个 $\mathfrak m^{r+1}$ 中的量，只会改变积一个 $\mathfrak m^{r+s+1}$ 中的量，故乘法良定义。零次部分是 $\kappa$ 。

本页的切锥是保留结构环的仿射概形

C_R=\operatorname{Spec}(\operatorname{gr}_{\mathfrak m}R).\tag{2}

对有限型 $k$ -概形 $X$ 的 $k$ -有理点 $p$ ，取 $R=\mathcal O_{X,p}$ ，记作 $C_pX$ 。若只想看底层几何零点集，可以再对分次环取约化；那是另一步，会丢掉本页刻意保留的幂零信息。

每个正次数部分都由一次部分的乘积生成，因为 $\mathfrak m^r$ 由 $r$ 个 $\mathfrak m$ 元素的乘积生成。因此切锥带有到Zariski切空间的自然闭嵌入。一阶切空间只记录 $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ 的对偶；切锥继续记录这些一次生成元相乘时，从第几阶开始产生关系。

多项式输入的精确呈示

设 $P=k[x_1,\ldots,x_n]$ ， $\mathfrak q=(x_1,\ldots,x_n)$ ，且 $I\subseteq\mathfrak q$ 。取

A=P/I,\qquad R=A_{\mathfrak m},\quad\mathfrak m=\mathfrak q/I.

这里写 $A_{\mathfrak m}$ 的极大理想时也沿用 $\mathfrak m$ 。对非零 $f\in I$ ，将其按总次数展开，令 $f_* $ 为最低次数的非零齐次部分。定义

I_*=(f_*:0\ne f\in I)\subseteq k[X_1,\ldots,X_n].\tag{3}

大写变量只标记分次坐标。关键是对 $I$ 的全部元素取最低项，而非只对某一份给定生成表取最低项。存在自然分次同构

\boxed{\quad \operatorname{gr}_{\mathfrak m}R \cong k[X_1,\ldots,X_n]/I_*. \quad}\tag{4}

它把 $X_i$ 送到 $x_i$ 在 $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ 中的类。这个式子允许非根理想 $I$ ；若输入本来是一个带幂零的概形，就必须保留原来的 $I$ ，不能先偷偷换成 $\sqrt I$ 。

直觉

把“至少一阶消失”“至少二阶消失”等函数依次放进 $\mathfrak m,\mathfrak m^2,\ldots$ 。在第 $r$ 层，我们只区分恰在这一层还能看到的部分，忽略更高阶项。把每层保留下来并一起相乘，就得到式(1)。

对于 $y^2-x^3$ ，最低项是 $y^2$ 。舍掉更高阶的 $x^3$ 后，方向 $y=0$ 被留下，但方程仍是 $y^2=0$ 。若再把它换成 $y=0$ ，就额外删去了重数；“放大图上看起来是一条线”不能证明这两种环相同。

例子与边界

三条曲线的一阶空间相近，切锥不同

以下取特征零域，点均为原点。主理想有一个便利：

I=(f)\quad\Longrightarrow\quad I_*=(f_*).\tag{5}

因为多项式环为整环，两个非零齐次最低项相乘不会变成零，故 $(hf)_*=h_*f_*$ ；任一理想元素都具有这种形式。

抛物线 $y-x^2=0$ 给

\operatorname{gr}R\cong k[X,Y]/(Y)\cong k[X].

尖点 $y^2-x^3=0$ 给

\operatorname{gr}R\cong k[X,Y]/(Y^2).\tag{6}

节点 $y^2-x^2(x+1)=0$ 则给

\operatorname{gr}R\cong k[X,Y]/(Y^2-X^2).\tag{7}

式(6)的类 $Y$ 非零且平方为零。式(7)在特征不为2时由两条不同直线 $Y=X$ 、 $Y=-X$ 组成，且没有非零幂零元：一次因子互异，乘积生成根理想。两者的一次层都二维，却保留了不同的二次乘法关系。

对后两者，每个次数 $r\ge1$ 都有基

X^r,\quad X^{r-1}Y.

理由是关系关于 $Y$ 首一，可把 $Y^2$ 消掉，并获得唯一余式。因此各层维数都是 $1,2,2,2,\ldots$ ，并且

\dim_k(R/\mathfrak m^{r+1})=1+2r\qquad(r\ge0).\tag{8}

相同的层维数并不保证相同的分次环。只列Hilbert函数，会漏掉式(6)的幂零与式(7)的两支。

尖点与节点都有二维切空间和相同分次维数，但尖点切锥含非零幂零元，节点切锥为两条不同直线；左侧直线只画约化点集 — 切锥保留最低关系的乘法

只取原生成元的最低项，可能连维数都算错

令

I=(f,g)=(x^2+y^3,xy)\subset k[x,y].

原生成元给出 $f_*=X^2,g_*=XY$ 。但

y f-x g=y^4\in I,

所以 $Y^4$ 也必须属于 $I_*$ 。它不属于 $(X^2,XY)$ ，因为该理想中的每个单项式都含 $X$ 。

事实上

I_*=(X^2,XY,Y^4).\tag{9}

我们既证明包含，也给出没有额外关系的证书。对原理想，使用词典序 $x>y$ ，集合

f=x^2+y^3,\qquad g=xy,\qquad h=y^4

是Gröbner基：三个S多项式分别约化为 $yf-xg=h$ 、 $y^4f-x^2h=y^7$ 、 $y^3g-xh=0$ ，前两个也被 $h$ 消掉。标准单项式因此是

1,x,y,y^2,y^3.\tag{10}

这五项组成 $A=k[x,y]/I$ 的基。在 $A$ 中， $x^2=-y^3,xy=0,y^4=0$ ，所以 $\mathfrak m=(x,y)$ 满足

\begin{aligned} \mathfrak m&=\operatorname{span}_k(x,y,y^2,y^3),\\ \mathfrak m^2&=\operatorname{span}_k(y^2,y^3),\\ \mathfrak m^3&=k y^3,\qquad \mathfrak m^4=0. \end{aligned}\tag{11}

每个常数项非零的元素都可用有限几何级数求逆，故 $A$ 已是局部环，进一步局部化不改变它。式(11)给分次层维数 $1,2,1,1$ ，总维数5。

另一方面，式(9)右侧三项已经包含在 $I_*$ 中，故其商环满射到 $\operatorname{gr}A$ 。这个商也以式(10)对应的大写单项式为基，维数5。等维有限向量空间的满射必为同构，证明没有遗漏额外最低关系。

若只用 $(X^2,XY)$ ，所有 $1,Y,Y^2,Y^3,\ldots$ 都留下来，得到一维而非零维的环。问题不在浮点误差，而在没有对全部理想关系做闭包。

相同切锥仍不能恢复原局部环

尖点的局部环是整环；双线 $k[x,y]/(y^2)$ 在原点的局部环却有非零幂零元 $y$ 。两者的关联分次环同为式(6)。因此切锥比一阶空间丰富，但仍不是完整局部环的分类不变量。

特征也影响可见分支。在特征2中， $Y^2-X^2=(Y-X)^2$ ，式(7)不再是两条不同直线。上面的节点“两支”解释明确使用特征不为2；不能只沿用实数草图。

推论与应用

为什么式(4)保留全部且只保留最低关系

先在 $A$ 中取理想幂。每个 $\mathfrak m^r/\mathfrak m^{r+1}$ 都被 $\mathfrak m$ 杀掉，故任何不在 $\mathfrak m$ 中的元素 $s$ 都按非零标量 $s(0)$ 作用。因此局部化到 $A_{\mathfrak m}$ 不改变这一层；逆作用就是乘 $s(0)^{-1}$ 。我们可以在多项式商 $A$ 中逐层证明式(4)。

把齐次次数 $r$ 的多项式 $F(X)$ 送到同一个表达式 $F(x)$ 在 $\mathfrak m^r/\mathfrak m^{r+1}$ 中的类。它是满射，因为这一层由长度 $r$ 的坐标乘积生成。

若 $F$ 的像为零，就有 $F(x)\in I+\mathfrak q^{r+1}$ 。因而可写 $F=f+H$ ，其中 $f\in I$ ， $H$ 的次数至少为 $r+1$ 。若 $F\ne0$ ，则 $f$ 的最低齐次部分恰为 $F$ ，所以 $F\in I_*$ 。

反过来，每个 $f_*$ 在对应次数的商层中都为零，因为 $f=0$ ，而 $f-f_*$ 已高出至少一阶。再乘任意齐次多项式仍映为零。因此映射的核恰为 $I_*$ 。各次数的映射与乘法相容，拼起来就是分次环同构，不只是逐层维数相等。

变坐标和映射需要保留过滤次数

局部环同构把极大理想及每个幂送到对应极大理想及其幂，因而诱导关联分次同构。式(2)的对象不依赖选择了怎样的嵌入坐标。

更一般地，局部同态 $R\to S$ 将 $\mathfrak m_R^r$ 送入 $\mathfrak m_S^r$ ，所以给出保持次数的 $\operatorname{gr}R\to\operatorname{gr}S$ 。但它不一定把一个元素的最低阶保留下来，可能把它送到更高阶。

例如尖点参数化诱导

k[x,y]/(y^2-x^3)\longrightarrow k[t],\qquad x\mapsto t^2,\quad y\mapsto t^3.

在原点的关联分次中， $X,Y$ 都是次数1，像分别是 $t^2,t^3$ 在 $(t)/(t^2)$ 中的类，因此都为零。诱导的切锥映射把整条参数直线送到锥顶。不能直接写 $X\mapsto T^2,Y\mapsto T^3$ 作为式(6)到 $k[T]$ 的环映射：这样 $Y^2=0$ 的关系会被送成非零的 $T^6$ 。

这份证书能检查什么

正则局部环页引用的结构定理（Stacks，Lemma 10.106.1）给出：若 $R$ 正则且维数为 $d$ ，其关联分次环是由正则参数初类生成的 $\kappa[U_1,\ldots,U_d]$ 。上面的抛物线符合这个接口；尖点和节点的一次维数都是2，而实际局部维数为1，故均不正则。

做一个具体切锥计算时，应交付三份数据：原坐标理想、全部最低关系的生成证书、每个所报分次层的独立基。第一个反例可以靠一个S组合发现漏项，但“找到一条新关系”还不等于完成全部理想；式(9)另外使用有限维数与满射排除了遗漏。

本页没有给一般输入的统一快速算法。局部标准基、消元及模关系计算的成本取决于次数、变量数和系数位长。对式(10)这类已给有限基的商，乘法表和理想幂可直接用精确线性代数复核；这是真正有限的终点，而不是仅查看一张曲线图。

参考资料

J. S. Milne，Algebraic Geometry，v6.10，2024，§4(b) Definition 4.9，印刷页83–84；§4(g) Proposition 4.34，印刷页93–94：最低齐次关系、关联分次呈示及映射的过滤规则。
J. S. Milne，Algebraic schemes: geometry over an arbitrary field，2024-11-04，Definitions 10.67、10.69、10.71，Example 10.68、Proposition 10.70，印刷页18–19：保留幂零的切锥定义。本文不对初始理想取根。
The Stacks Project，§10.106 Regular local rings，Tag 00NN，Lemma 10.106.1：正则局部环的关联分次多项式环。五维商反例的标准基、过滤及满射证书由本文直接列出。

形式陈述 ​

从一阶商走向每一阶商 ​

多项式输入的精确呈示 ​

三条曲线的一阶空间相近，切锥不同 ​

只取原生成元的最低项，可能连维数都算错 ​

相同切锥仍不能恢复原局部环 ​

为什么式(4)保留全部且只保留最低关系 ​

变坐标和映射需要保留过滤次数 ​

这份证书能检查什么 ​

反向链接