测地线 | Codeboy's Blog

形式陈述

在带Riemann 度量 $g$ 的光滑流形 $M$ 上，取度量唯一确定的无挠、度量相容的Levi–Civita 联络。固定 $a<b$ ，光滑曲线 $\gamma:[a,b]\to M$ 称为仿射参数测地线，若

D_t\dot\gamma=\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0. \tag{1}

在坐标中等价于

\ddot x^k+\Gamma^k_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j=0.

给定 $p\in M$ 和初速度 $v\in T_pM$ ，正维坐标中的ODE 局部存在唯一性与光滑依赖给出相应测地线。零维时切空间只有零向量，连通参数区间上的曲线本来就恒定，初值问题直接给出唯一常值曲线。它的速率恒定，因为

\frac d{dt}|\dot\gamma|^2=2\langle D_t\dot\gamma,\dot\gamma\rangle=0.

固定参数区间和两个端点，定义曲线能量

\mathcal E(c)=\frac12\int_a^b|\dot c(t)|^2\,dt. \tag{2}

式 (1) 等价于： $\gamma$ 对每个光滑固定端点变分的能量一阶导数都为零。此处是能量驻定，不预先假定极小性。每条测地线在足够短的区间上最小化端点间长度，这是还需 Gauss 引理的局部最短定理；延长后的测地线可以失去最短性。

直觉

沿曲线的速度若平行移动，就没有内在加速度。在欧氏空间中这是匀速直线；对嵌入曲面，加速度可以垂直曲面，但不能有切向分量。一般流形无需放进环境空间，式 (1) 本身就是定义。

能量还记录走过各段的速率。对同一个几何路径，匀速走法能量最小；忽快忽慢虽不改变长度，却会增加能量。固定时间后使用能量，正好让测地线方程同时控制路径与参数化。

例子与边界

球面大圆与参数化

在单位球面上，

\gamma(t)=(\sin t,0,\cos t)

具有单位速率，环境加速度为 $-\gamma(t)$ ，完全垂直球面。因此它是测地线。两非对跖点之间较短的大圆弧唯一最短；较长弧仍满足测地线方程。北极与南极之间有无穷多条等长最短半大圆。纬线除赤道外不是测地线，因为其加速度还有切向分量。

若 $c(s)=\gamma(\phi(s))$ ，则

D_s\dot c=(\phi')^2D_t\dot\gamma+\phi''\dot\gamma.

对非恒定测地线，非仿射重参数化会破坏式 (1)，即使曲线像不变；仿射参数变化保持测地性。常值曲线也满足式 (1)，但它没有单位速参数。

长度与能量各自保留什么

记曲线长度为 $\ell(c)=\int_a^b|\dot c|\,dt$ 。Cauchy–Schwarz 给

\ell(c)^2\le (b-a)\int_a^b|\dot c|^2\,dt =2(b-a)\mathcal E(c), \tag{3}

等号恰在速率为常数时成立。因而常速长度极小曲线也是能量极小曲线。对长度泛函，沿原路径的非匀速重参数化仍有相同长度；对能量泛函，这些方向通常有正的二次代价。二者的 Hessian 不能在所有切向量场上直接混用。

测地完备性要求所有初速度解对全部时间存在；局部 ODE 理论不自动给出完备性。下面实现小变分只用紧曲线附近的局部指数映射，不要求完备。

推论与应用

每个双端为零的场都能实现为固定端点变分

沿 $\gamma$ 取光滑向量场 $V$ ，满足 $V(a)=V(b)=0$ 。指数映射定义为

\exp_p(v)=\gamma_{p,v}(1),

右侧是初值 $(p,v)$ 的测地线在时间 $1$ 的值，对零向量附近的 $v$ 有定义。缩放初速度等价于缩放时间，故 $d(\exp_p)_0$ 是恒等映射。ODE 光滑依赖说明 $\exp$ 在零截面附近光滑。

由于 $\gamma([a,b])$ 紧，缩小统一的 $\varepsilon>0$ 后，

F(s,t)=\exp_{\gamma(t)}(sV(t)),\qquad |s|<\varepsilon, \tag{4}

在整个参数矩形上有定义。它满足

F(0,t)=\gamma(t),\quad \partial_sF(0,t)=V(t),\quad F(s,a)=\gamma(a),\quad F(s,b)=\gamma(b).

所以端点是对每个 $s$ 都精确固定的。一般仅知道某族曲线的端点一阶导数为零，并不足以断言该族端点固定；式 (4) 补上了这一步。

同理，两个双端为零的场 $V,W$ 可由

F(s,r,t)=\exp_{\gamma(t)}(sV(t)+rW(t))

同时实现。这为双线性第二变分提供实际的两参数曲线族。

一阶变分逐项导出测地线方程

令 $F(s,t)$ 是任意光滑固定端点变分，记 $T=\partial_tF$ 、 $S=\partial_sF$ 。在拉回切丛中，度量相容与无挠性分别给出

\partial_s\langle T,T\rangle=2\langle D_sT,T\rangle, \qquad D_sT=D_tS.

积分区间紧，光滑性允许积分下求导。因此

\begin{aligned} \frac d{ds}\mathcal E(F(s,\cdot)) &=\int_a^b\langle D_tS,T\rangle\,dt\\ &=\left[\langle S,T\rangle\right]_a^b -\int_a^b\langle S,D_tT\rangle\,dt\\ &=-\int_a^b\langle S,D_tT\rangle\,dt. \end{aligned} \tag{5}

最后一步使用端点对所有 $s$ 固定，故 $S(s,a)=S(s,b)=0$ 。

若 $\gamma$ 满足式 (1)，在 $s=0$ 的式 (5) 显然为零。反之，若每个固定端点变分的一阶导数都为零，式 (4) 允许任取双端为零的 $V$ 。若 $A=D_t\dot\gamma$ 在某个内点非零，取支于该点附近的非负光滑函数 $\eta$ ，使 $\eta A$ 非零，并取 $V=\eta A$ ，则

\left.\frac d{ds}\mathcal E(F(s,\cdot))\right|_{s=0} =-\int_a^b\eta|A|^2\,dt<0,

矛盾。故 $A$ 在内部为零，由连续性在端点也为零。这证明了能量驻定与测地线方程的等价。

Jacobi 场与第二变分继续对式 (5) 求导，得到曲率参与的指标形式。在单位球面上，它对长度小于 $\pi$ 的弧正定，在 $\pi$ 出现一维核，超过 $\pi$ 则有明确负方向。该页还用真实固定端点变分证明负方向确实产生更短的邻近曲线，而非只作形式符号判断。

一般向量场的一阶动力由局部流组织；测地线方程也可在切丛上改写为 geodesic spray 的流。曲率张量控制邻近测地线的偏离，二维情形由高斯曲率描述。

概率测度也能形成测地空间。位移插值先选欧氏空间中的最优平方成本耦合，再沿每对匹配点的直线同步搬运，使分布之间的 $W_2$ 距离按时间差线性变化；它不同于把两个端点分布作普通混合。

参考资料

Matthias Weber, Lectures on Riemannian Geometry，2005 年 9 月修订，§3.3 的测地线与指数映射、§8.3, Proposition 8.3.1, pp. 205–206 的能量变分。本页固定参数区间，并显式构造固定端点变分。
Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992，Chs. 3–5, Levi–Civita connection, geodesics and exponential map。

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