Riemann 曲率张量 | Codeboy's Blog

形式陈述

采用以下符号约定

R(X,Y)Z =\nabla_X\nabla_YZ -\nabla_Y\nabla_XZ -\nabla_{[X,Y]}Z,

其中 $\nabla$ 是Levi–Civita 联络。在此约定下，标准球面的截面曲率为正。张量性的证明骨架是逐个检查函数系数产生的一阶项相消。最后一项修正向量场本身的不对易，使 $R(X,Y)Z$ 对 $X,Y,Z$ 都在 $C^\infty(M)$ 上线性；例如把 $X$ 换成 $fX$ 时，前两项产生的 $Y(f)\nabla_XZ$ 与 Lie 括号

[fX,Y]=f[X,Y]-Y(f)X

中的对应项抵消。因此 $R_p(X,Y)Z$ 只依赖三个向量在 $p$ 的值，确实定义一个 $(1,3)$ 型张量，即在每点属于 $T_pM\otimes(T_p^*M)^{\otimes3}$ ；随点光滑变化后得到这一张量积丛的截面。

用度量降指标，定义

R(X,Y,Z,W)=g(R(X,Y)Z,W).

它满足

R(X,Y,Z,W)=-R(Y,X,Z,W),

R(X,Y,Z,W)=-R(X,Y,W,Z),

R(X,Y,Z,W)=R(Z,W,X,Y),

以及第一 Bianchi 恒等式

R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0.

这些对称性依赖 Levi–Civita 联络的无挠与度量相容条件。

对由线性无关向量 $u,v\in T_pM$ 张成的二维平面 $\sigma$ ，截面曲率定义为

K(\sigma) =\frac{g(R(u,v)v,u)} {g(u,u)g(v,v)-g(u,v)^2}.

分母是 Gram 行列式，使结果不依赖 $\sigma$ 的所选基。

直觉

曲率衡量两次协变微分交换次序后的残差。若沿两个方向围成一个无穷小闭环作平行移动，向量回到起点时通常不会完全复原；首个非平凡偏差由 $R$ 控制。它也控制邻近测地线如何会聚或发散。

联络系数可通过坐标选择在一点消去，但它们的一阶导数与二次组合仍可能留下曲率。曲率因此不是“某组坐标中 Christoffel 符号是否非零”，而是坐标无关的张量。

例子与边界

Euclidean 空间的标准联络在直角坐标中系数恒为零，所以 $R=0$ 。半径为 $a>0$ 、维数至少为 $2$ 的圆球具有常截面曲率

K=\frac1{a^2}.

二维时每点只有一个切平面，全部曲率信息压缩为高斯曲率；高维时不同二维切平面可以有不同截面曲率，不能用单一标量替代整个张量。

若把 $R$ 的定义整体换成负号，同时保持上述截面曲率公式，则 $R$ 的分量与 $K$ 都整体换号。这里采用的组合使标准球面具有正曲率。

正常坐标使 $\Gamma^k_{ij}(p)=0$ ；在 $p$ 处曲率非零时，这些系数的一阶导数仍须留下非零组合。球面就同时具有逐点的正常坐标与正曲率。曲率还取决于度量：在同一光滑流形上改变度量，可以改变曲率值。

推论与应用

曲率张量通过取迹产生 Ricci 曲率与标量曲率，通过限制二维平面产生截面曲率。Jacobi 方程用 $R$ 描述测地线变分，解释正负曲率对测地线聚散的影响；平行移动的 holonomy 也由曲率控制。

在固定端点能量的第二变分中，同一约定产生负的曲率项： $I(V,V)=\int(|D_tV|^2-\langle R(V,T)T,V\rangle)dt$ 。沿单位球面的单位速测地线，把法向场写成 $V=vE$ ，其中 $E$ 是平行单位法向场，便得到 $\int((v')^2-v^2)dt$ ；Jacobi 页以最佳区间不等式和真实变分证明，弧长超过 $\pi$ 时出现降低能量与长度的方向。曲率张量的成对对称性同时保证指标形式对称，其双线性核恰由双端为零的 Jacobi 场组成。

参考资料

John M. Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer, 1997, Chs. 7–8, curvature tensor and sectional curvature.
Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992, Chs. 3–4, curvature identities and examples.

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