一阶结构

语言给出可使用的名字和输入位置，结构为这些位置填入具体对象、运算与关系。函数符号 $+$ 本身不携带普通加法的规律；把它解释为别的二元全函数仍得到合法结构，只是可能不再满足交换律等公理。

同一个论域可以配上不同结构，同一个语言也可以在不同论域上解释。因此比较两份公式的真假前，既要确认符号解释，也要确认量词究竟遍历哪些对象。符号的字形相同，并不意味着其数学含义已经固定。

在一个有限结构中完整求值 ​

取语言 $L=\{c,f,R\}$，其中 $c$ 是常元，$f$ 是一元函数符号，$R$ 是二元关系符号。令

并令 $R^{\mathcal{M}}=\{(0,1),(1,2),(2,0)\}$。于是 $f(f(c))$ 的值是 $2$，$R(f(c),f(f(c)))$ 为真，因为 $(1,2)$ 在解释关系中。

句子 $\mathrm{\forall }xR(x,f(x))$ 为真：依次取 $x=0,1,2$，得到关系中的三个有序对。句子 $\mathrm{\exists }xf(x)=x$ 为假，因为三个输出分别为 $1,2,0$，没有不动点。若把同一语言中的 $f$ 改为恒等函数，这个存在句就变真，说明真假随结构而变。

代数语言与关系语言 ​

群语言使用常元 $e$、二元乘法和一元逆元；任何群都给出这种语言的结构，但任意解释这些符号并不自动得到群。环语言中的 $0,1,+,\cdot$ 可解释为整数、有限域或矩阵环的相应运算；若采用含一元负号的签名，还须给出它的解释。它们共享形成规则，却可能满足不同句子。

图语言只需二元关系 $E$，但任意 $E\subseteq M^2$ 可能带自环且不对称。若要简单无向图，还要加上 $\mathrm{\forall }x\mathrm{\neg }E(x,x)$ 与 $\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y(E(x,y)\to E(y,x))$。序语言的 $<$ 同理：结构定义并不强制它真的满足序公理。

全函数与非空论域 ​

标准一阶函数解释必须处处有值且留在论域内。例如实数上的倒数在 $0$ 无定义，不能原样解释一元函数符号；可改用二元关系表达 $xy=1$，或明确定义零点的额外取值并在公理中限制非零输入。

本页采用非空论域。若有常元，空论域本来就无法解释它；即使语言没有常元，允许空结构也会改变量词规律，例如 $\mathrm{\forall }xP(x)$ 可以空真而 $\mathrm{\exists }xP(x)$ 为假。因此允许空结构是一项语义约定的变化。

结构与赋值共同决定满足关系公理库满足关系Satisfaction relation · Tarski semantics用对公式构造的递归定义刻画结构与赋值何时满足一阶公式。：先递归求项值，再判断关系成员资格，最后处理联结词和量词。句子没有自由变量，所以最终真值不依赖赋值。

一阶理论公理库一阶理论First-order theory同一一阶语言中一组句子及其模型类所构成的理论。筛选满足特定公理的结构。子结构、同构、初等嵌入和超积则比较或构造结构：其中同构要同时保留全部符号解释，初等嵌入还要求保持任意一阶公式的真假。这些不同层次不能仅由论域集合之间的函数替代。

Ehrenfeucht–Fraïssé 博弈公理库Ehrenfeucht–Fraïssé 博弈Ehrenfeucht–Fraïssé games · Ehrenfeucht-Fraisse games · EF games用有限轮部分同构博弈刻画有界量词秩的一阶不可区分性，并构造有限线性序的应答策略。用有限轮选点比较两个结构：每轮只要求所选元组保持部分同构，却能精确刻画有界量词秩公式的真假一致。在纯序语言中，七点序和八点序虽不同构，应答者仍能赢三轮；差异是否可见，取决于允许的公式观察深度。