状态空间时间序列模型

状态是对预测未来而言足够的动态摘要。过去的全部影响先压入 ${\alpha }_t$，观测再以噪声方式读取它；于是长程观测依赖通过低维 Markov 状态传递。状态可以是不可直接观测的水平、趋势、季节分量或物理位置，而不必与 $Y_t$ 同维、同单位，也不必具有单独可解释性。

同一观测过程可以有多种状态表示。例如给状态添加一个既不影响其他坐标、也不进入观测方程的坐标，观测似然完全不变。在线性定常系统中，可观测性理路线性系统的可观测性Observability of a linear system · Kalman 可观测性秩判据用观测 Gramian 重建初态，再分离不可观子空间，证明可检测性与稳定输出注入的等价关系。考察不同初始状态是否能由已知输入下的无噪声输出区分；可控性或可达性理路线性系统的可控性Controllability of a linear system · Kalman 可控性秩判据用秩与 Gramian 构造最小能量输入，再沿可达子空间分解系统，证明不可控块稳定恰好保证可稳定化。考察输入能否激发各状态方向。所链接两页给出连续时间常系数模型的秩与 Gramian 证明；本页的离散随机模型须使用自己的转移矩阵、噪声与采样条件，不能直接套用连续时间积分。它们用于分析表示是否有冗余，但不等同于未知参数能否由观测分布唯一确定的统计识别问题。

这些性质也不是写出状态空间模型的先决条件。模型即使含不可观测方向，仍可定义联合分布和做条件推断，只是数据不会消除那些方向的不确定性。“把所有历史塞进状态”同样可行，却失去压缩的价值。过滤、预测和平滑是在给定模型上求不同条件分布的任务。

标量局部水平模型取

其中 ${\alpha }_0\sim N(10,4)$、$\mathrm{Var}({\eta }_t)=1$、$\mathrm{Var}({\epsilon }_t)=4$。因此先验下 $\mathrm{Var}({\alpha }_1)=5$、$\mathrm{Var}({\alpha }_2)=6$，而

共同的隐藏水平使观测相关，观测噪声只增加各自主对角方差。看到 $Y_1=12$ 后，Kalman 滤波器理路Kalman 滤波器Kalman filter · 卡尔曼滤波器在线性高斯状态空间模型中递推计算状态预测与过滤分布均值、协方差及似然的算法。先比较预测误差 $12-10=2$ 与两种噪声的尺度：状态预测方差为 $5$，观测预测方差为 $9$，所以增益为 $K_1=5/9$。更新得到

下一期预测均值仍为 $100/9$，状态方差增加过程噪声后成为 $29/9$。测量让我们更确定当前水平，状态演化又带来新的不确定性；这两个步骤不能互相替代。

过程方差 $Q=0$ 时，状态按已知递推演化，所有不确定性来自初值和测量；观测方差 $H=0$ 时，若 $Z$ 可逆则状态被无噪声读出。两者都为零可能导致奇异预测协方差，普通密度公式失效。短序列中较大的 $Q$ 与较大的 $H$ 可能产生相似粗糙度，却含义相反；模型错设或弱识别不能靠滤波递推本身修复。

过滤求 $p({\alpha }_t\mid y_{1:t})$，一步预测求 $p({\alpha }_{t+1}\mid y_{1:t})$，平滑则利用未来观测求 $p({\alpha }_t\mid y_{1:n})$。线性高斯情形由 Kalman 滤波与平滑精确递推，并可累积预测误差密度计算似然。非线性或非高斯模型可用扩展/无迹近似、网格或粒子方法，但这些算法引入各自近似条件，不改变原模型的条件独立结构。

ARMA、结构时间序列、动态回归和缺失观测可放进统一状态表示；要建立状态空间表示与某个 ARMA 表示之间的对应，还须指定维数与最小性、初始化以及噪声假设。初始化尤其关键：稳定状态可用平稳协方差，随机游走水平需弥散或显式先验。错误地用固定小方差初始化，会让早期滤波过度自信并扭曲似然。