CSS 量子码 | Codeboy's Blog

形式陈述

CSS 码把两套经典二元线性校验变成分开检测比特与相位错误的量子检查。取整数 $n\ge1$ 、 $r_X,r_Z\ge0$ 。设 $H_X\in\mathbb F_2^{r_X\times n}$ 、 $H_Z\in\mathbb F_2^{r_Z\times n}$ 满足

H_XH_Z^T=0.

对 $H_X$ 的每一行 $h$ 取检查 $X^h=\bigotimes_jX_j^{h_j}$ ，对 $H_Z$ 的每一行 $g$ 取 $Z^g$ 。因为

X^hZ^g=(-1)^{h\cdot g}Z^gX^h,

上述正交条件保证全部检查对易；它们定义一个稳定子码。若以 $\operatorname{rank}H_X,\operatorname{rank}H_Z$ 计独立检查数，则编码 qubit 数为

k=n-\operatorname{rank}H_X-\operatorname{rank}H_Z. \tag{1}

对 $k>0$ ，精确的两类逻辑距离是

d_X=\min\{\operatorname{wt}(u):u\in\ker H_Z\setminus\operatorname{row}H_X\},

d_Z=\min\{\operatorname{wt}(v):v\in\ker H_X\setminus\operatorname{row}H_Z\}, \qquad d=\min(d_X,d_Z). \tag{2}

判断逻辑错误时忽略Pauli的整体相位；例如 $-I$ 只改变整体相位，不算重量0的逻辑错误。核表示综合为零，减去行空间则排除本来就作用平凡的稳定子。仅取两个经典码距离的较小值通常只能给下界，遇到简并码时不能当作等式。[1, §5.1]

直觉

$X$ 错误会翻转与它反对易的 $Z$ 检查； $Z$ 错误会翻转相应 $X$ 检查。因此可以分别使用经典综合定位两种错误，再把它们合起来处理 $Y=iXZ$ 。

正交条件负责保证“测比特检查”不会破坏“测相位检查”。它不是为了让两套经典码看起来对称，而是让这些可观察量能同时拥有稳定的共同本征空间。

七个数据位置的列标签为全部非零三位向量，两组相同的H矩阵分别给X与Z检查；同一列决定该位置X、Z、Y错误的两半综合。

例子与边界

七qubit码的显式矩阵

取 $H_X=H_Z=H$ ，列按二进制1到7排列，低位在第一行：

H=\begin{pmatrix} 1&0&1&0&1&0&1\\ 0&1&1&0&0&1&1\\ 0&0&0&1&1&1&1 \end{pmatrix}.

每行重量4，自内积为0；任意两行恰重叠两列，互内积也为0。因此 $HH^T=0$ 。列1、2、4形成单位矩阵，所以秩为3。

得到三条 $X$ 检查与三条 $Z$ 检查，例如第一对为

X_1X_3X_5X_7,\qquad Z_1Z_3Z_5Z_7.

两类行在二元Pauli表示中占不同坐标，独立数相加为6，式 (1) 给 $k=1$ 。

距离为什么恰为3

$H$ 的列都非零，所以核中没有重量1向量；列互异，所以两个不同列之和不为零，核中也没有重量2向量。

向量 $u=(1,1,1,0,0,0,0)$ 却在核里，因为前三列异或为零。另一方面， $H$ 的行空间中每个非零向量重量都是4：任意非零三位行组合，在七个非零列上恰取四次1。因此这个重量3向量不在行空间。

式 (2) 于是给 $d_X=d_Z=3$ ，得到七qubit、一逻辑qubit、距离3的码，通常写作 $[\![7,1,3]\!]$ 。它可以纠正任意一个物理 qubit 上的错误，而不只是单纯的比特翻转。具体地，任意两个单位置 Pauli 错误 $E,F$ 的乘积 $E^\dagger F$ 重量至多为 $2$ ：它若与某个检查反对易，压缩 $PE^\dagger FP$ 为零；若与全部检查对易，距离 $3$ 迫使它在码上为标量。于是Knill–Laflamme 条件对整个单位置错误线性空间成立，给出统一恢复。

可选逻辑算子为

\overline X=X_1X_2X_3,\qquad \overline Z=Z_1Z_2Z_3.

它们与全部稳定子对易，却因重叠三位而彼此反对易。也可取 $X^{\otimes7},Z^{\otimes7}$ ；与上式之差是第四到第七位的同类检查，故在码空间上作用相同。

X、Z、Y错误怎样分别读出

对误差 $X^uZ^v$ ，定义综合顺序为“先测三条 $X$ 检查，再测三条 $Z$ 检查”，负号记1，则

s_X=Hv,\qquad s_Z=Hu.

记第 $j$ 列为 $h_j$ 。单错 $X_j$ 的综合为 $(0,h_j)$ ， $Z_j$ 为 $(h_j,0)$ ， $Y_j$ 为 $(h_j,h_j)$ 。

例如第5列为 $(1,0,1)^T$ ，故 $Y_5$ 给出 $s_X=s_Z=101$ 。两个非零且不同的综合可分别定位一个 $X_i$ 与一个 $Z_j$ ，但若 $i\ne j$ ，那是两位置错误，不在任意单错保证内；不要只因两套经典译码都给出了位置，就宣称量子码纠正了任意双错。

这里的综合译码把测量结果映射到恢复Pauli。等综合的错误若相差一个稳定子，恢复后仍等效正确；若相差非平凡逻辑算子，就会造成未被检查发现的逻辑错误。

推论与应用

式 (2) 也说明为什么一般Pauli的距离等于两类最小值。若 $X^uZ^v$ 与稳定子对易，就有 $u\in\ker H_Z,v\in\ker H_X$ 。若它不是稳定子，至少有一个分量不在对应行空间；总支撑大小至少覆盖那个分量，故不小于 $\min(d_X,d_Z)$ 。纯 $X$ 或纯 $Z$ 的极小逻辑向量又达到这一界。

CSS 形式使逐位置CNOT特别自然：控制块的 $X$ 检查会复制到目标块，目标块的 $Z$ 检查会复制到控制块，仍留在两块联合稳定子群里。七qubit自对偶例子还允许逐位 $H$ 交换两类检查。

这些结构结论仍假设检查能被正确执行。若辅助制备、耦合门或测量也会坏，就需容错综合提取；不能由码距3直接推出一个任意综合电路能容忍一次门故障。

参考资料

[1] Daniel Gottesman, Surviving as a Quantum Computer in a Classical World, 2024 draft，§5.1：CSS构造、经典码包含条件、简并与码字；§11.3 的七qubit逻辑算子。
[2] A. R. Calderbank and Peter W. Shor, Good Quantum Error-Correcting Codes Exist, Physical Review A 54, 1098, 1996；CSS构造的原始来源之一。

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距离为什么恰为3 ​

X、Z、Y错误怎样分别读出 ​

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