伴随算子

把内积 $⟨Tv,w⟩$ 读成一次“测量”：先用 $T$ 变换输入 $v$，再看结果在测试方向 $w$ 上的分量。伴随把同一测量改写为 $⟨v,T^{\ast }w⟩$，也就是不动输入，转而预先变换测试方向。它因此像一条无坐标的反向传播规则，并自然出现在正规方程、Fourier 系数和量子力学的期望值中。

对偶空间公理库对偶空间Dual space给定向量空间到标量域的全部线性泛函组成的向量空间。上的转置把泛函 $\phi$ 送到 $\phi \circ T$，即 $T^{\mathsf{t}}:W^{\ast }\to V^{\ast }$。内积把向量 $w$ 与泛函 $⟨w,\cdot ⟩$ 对应起来，再把转置搬回原空间，就得到伴随。在实数域，这个向量到泛函的对应是线性的；在复数域则是共轭线性的，因为第一变量中的标量会取共轭。伴随由此依赖所选内积。

在带标准内积的 ${\mathbb{R}}^2$ 上取 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，则 $A^{\ast }=A^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$。例如 $⟨A{e}_1,e_2⟩=3$，而 $A^{\mathrm{\top }}{e}_2=(3,4{)}^{\mathrm{\top }}$，故 $⟨e_1,A^{\mathrm{\top }}{e}_2⟩$ 也等于 $3$。

本页采用第一变量共轭线性、第二变量线性的约定，因此 $⟨\lambda v,w⟩=\bar{\lambda }⟨v,w⟩=⟨v,\bar{\lambda }w⟩$，乘 $\lambda$ 的算子以乘 $\bar{\lambda }$ 为伴随。改用相反的内积约定后，对定义等式两边同时取共轭，仍得到同一个伴随算子。

在一般基下，内积的 Gram 矩阵参与计算。若 $V=W$ 且 $⟨x,y{⟩}_G=x^{\ast }Gy$，设伴随的矩阵为 $C$，定义式给出 $x^{\ast }{A}^{\ast }Gy=x^{\ast }GCy$，于是 $C=G^{-1}{A}^{\ast }G$。正交规范基对应 $G=I$，公式随即化为共轭转置。

伴随定义了常用算子类：$T=T^{\ast }$ 是自伴，$T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$ 是正规，$T^{\ast }=T^{-1}$ 是酉（实数域上称正交）。有限维谱定理公理库有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维复正规算子存在正交规范特征基；实数情形对应自伴算子。为复正规算子给出酉对角化，为实自伴算子给出正交对角化。有限维中 $\mathrm{im}T=(\ker T^{\ast }{)}^{\perp }$，因此 $Tv=w$ 可解，恰好等价于 $w$ 与 $\ker T^{\ast }$ 中每个向量正交。

最小二乘公理库最小二乘与正规方程Least squares · Normal equations将目标向量正交投影到矩阵列空间，并以残差正交条件导出正规方程。要求残差 $b-A\hat{x}$ 与列空间正交，所以 $A^{\ast }(b-A\hat{x})=0$，整理后得到正规方程 $A^{\ast }A\hat{x}=A^{\ast }b$。QR 与 SVD 求解公理库用 QR 与 SVD 求最小二乘Least squares via QR · Least squares via SVD · Numerical least squares以 QR 作为满列秩最小二乘的默认计算路线，并用 SVD 处理秩亏、欠定和最小范数解。直接分解 $A$，在计算中保留这一正交结构。

奇异值分解公理库奇异值分解Singular value decomposition · SVD任意有限维线性映射都可在正交规范基下表示为非负对角伸缩。从 $T^{\ast }T$ 的正交规范特征基出发，把其非零特征值开方得到奇异值，再用 $T$ 把这些输入方向送到对应的输出方向。