扩张次数与塔式定理

扩张次数是用底域标量描述扩域元素所需的独立坐标数。经过中间域 $K$ 时，可以先用 $m$ 个 $K$-坐标描述 $E$ 中元素，再把每个 $K$-坐标展开成 $n$ 个 $F$-坐标，于是总自由度乘成 $mn$。例如两个复数坐标各有实部和虚部，展开后就是四个实数坐标。

在塔 $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 中，第一层次数为 $2$。检验第二层时，假设 $\sqrt{3}=a+b\sqrt{2}$，其中 $a,b\in \mathbb{Q}$。平方并比较两种坐标，得到

若 $b=0$，就要求有理数 $a$ 的平方为 $3$；若 $a=0$，就要求有理数 $b$ 的平方为 $3/2$。两者都不可能，因为有理数平方的素因子指数均为偶数。因此 $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$，它在中间域上的最小多项式仍为 $x^2-3$，第二层次数也为 $2$。塔式定理给总次数 $4$，一组 $\mathbb{Q}$-基为 $1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$。

在这个四次扩张中，元素 $\sqrt{2}$ 的次数仍为 $2$，它生成的是中间域 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$。一般地，有限扩张 $E/F$ 中任一元素 $\alpha$ 的次数等于 $[F(\alpha ):F]$，由塔式定理可知它整除 $[E:F]$；当 $\alpha$ 生成整个 $E$ 时，才达到扩张的总次数。

若 $[E:F]$ 为素数，塔式公式迫使每个中间域 $K$ 满足 $[K:F]=1$ 或 $[E:K]=1$，所以只有 $F$ 与 $E$ 两种选择。若总次数为 $6$，中间域次数就只能为 $1,2,3,6$；次数为 $4$ 的最小多项式公理库极小多项式Minimal polynomial以给定代数元为根的首一不可约多项式。也不可能在 $E$ 中有根。

对有限 Galois 扩张，Galois 群公理库伽罗瓦群Galois group固定基域的扩域自同构在复合下形成的群。的阶等于扩张次数。把这条计数结论用于 $E/F$ 和 $E/K$，塔式定理便把中间域次数 $[K:F]$ 写成群指数 $[\mathrm{Gal}(E/F):\mathrm{Gal}(E/K)]$。