分裂域

可以把构造分裂域看成逐步添根。先选一个不可约因子 $g\in F[x]$，由商环公理库商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。得到的域 $F[x]/(g)$ 就包含它的一个根 $\alpha$；在新域上从 $f$ 中除去 $x-\alpha$，再对剩余因子重复。每次都减少待分解多项式的次数，有限步后全部根便处在同一个域中。

$x^2-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域为 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$。加入 $\sqrt{2}$ 后，另一个根 $-\sqrt{2}$ 已由取负得到。这个二次扩张包含了多项式的全部根。

对 $f(x)=x^3-2$，令 $\alpha =\sqrt[3]{2}$、${\zeta }_3=e^{2\pi i/3}$。三个根为 $\alpha ,{\zeta }_3\alpha ,{\zeta }_3^2\alpha$，所以分裂域是

$x^3-2$ 没有有理根，作为三次多项式它不可约，故 $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=3$。这个域位于 $\mathbb{R}$ 内，尚未包含非实数 ${\zeta }_3$；后者满足 $x^2+x+1=0$，所以再添入它得到二次扩张。塔式定理公理库扩张次数与塔式定理Extension degree · Tower law · 扩域次数以向量空间维数度量域扩张，并将一座有限扩张塔的次数分解为逐层次数之积。给出 $[E:\mathbb{Q}]=2\cdot 3=6$。多项式的三个根共同生成了一个六次扩张。

在 $F={\mathbb{F}}_p(t)$ 上，令 ${\alpha }^p=t$。由于 $x^p-t=(x-\alpha {)}^p$，分裂域为 $F(\alpha )$，其中只有一个不同的根。$t$ 在 $F$ 中没有 $p$ 次方根，这个扩张的次数为 $p$，是不可分扩张。这里“分裂”记录一次因子的分解，“可分公理库可分扩张Separable extension · 可分域扩张扩张中每个代数元的最小多项式都没有重根，从而保留足够多的不同共轭嵌入。”记录根是否重复。

分裂域是有限正规扩张公理库正规扩张Normal extension · 正规域扩张一个不可约多项式的根一旦进入扩域，其全部共轭根便都留在其中的代数扩张。：每个固定 $F$ 的嵌入都把 $f$ 的根排列到同一根集中，故把根生成的整个域映到自身。若 $f$ 还可分，扩张就是Galois 扩张公理库Galois 扩张Galois extension · 伽罗瓦扩张同时正规且可分的代数扩张，使扩张次数与域自同构对称性在有限情形精确配平。。其Galois 群公理库伽罗瓦群Galois group固定基域的扩域自同构在复合下形成的群。在根集上的作用忠实，因为固定每个根就固定了它们生成的域；随后可用Galois 理论基本定理公理库伽罗瓦理论基本定理Fundamental theorem of Galois theory有限伽罗瓦扩张的中间域与群的子群反序对应，并由八阶二面体群完整算出四次根分裂域的十个中间域。从子群求出中间域。

有限域公理库有限域Finite field · Galois field底层集合有限的域。的构造也可由分裂域完成。在 ${\mathbb{F}}_p$ 的代数闭包中，$x^{p^n}-x$ 的导数为 $-1$，因此有 $p^n$ 个不同的根。这些根对域运算封闭，并包含 ${\mathbb{F}}_p$，所以根集本身就是该多项式在 ${\mathbb{F}}_p$ 上的分裂域 ${\mathbb{F}}_{p^n}$。