正规扩张

最小多项式把一个代数元与它的共轭根联系起来。正规扩张把这些根成组收齐，因此固定基域的嵌入在扩域内部重排共轭根，其像仍是原来的扩域。正规性关注根所在的位置；可分性则记录这些根是否互异。

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 正规：$\sqrt{2}$ 的共轭是 $-\sqrt{2}$，两者都在该域中，而且它是 $x^2-2$ 的分裂域。相反，$E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 只包含 $x^3-2$ 的实根。另两个根 ${\zeta }_3\sqrt[3]{2}$、${\zeta }_3^2\sqrt[3]{2}$ 非实，不属于 $E\subset \mathbb{R}$，所以 $E/\mathbb{Q}$ 不正规；将实根送到非实共轭根的嵌入也把 $E$ 送出了自身。

在特征 $p$ 中，${\mathbb{F}}_p(t^{1/p})/{\mathbb{F}}_p(t)$ 由 $x^p-t$ 的根生成。该多项式在扩域中写成 $(x-t^{1/p}{)}^p$，因此这个扩域就是它的分裂域，扩张正规。另一方面，$t$ 在 ${\mathbb{F}}_p(t)$ 中没有 $p$ 次方根，该扩张的次数为 $p$，而生成元的最小多项式只有一个不同的根，所以扩张不可分。

对于有限扩张，正规性保证每个 $F$-嵌入 $E\to \mathrm{\Omega }$ 的像为 $E$，于是这些嵌入都是 $E$ 的自同构；可分性公理库可分扩张Separable extension · 可分域扩张扩张中每个代数元的最小多项式都没有重根，从而保留足够多的不同共轭嵌入。保证这样的嵌入共有 $[E:F]$ 个。两者合起来得到Galois 扩张公理库Galois 扩张Galois extension · 伽罗瓦扩张同时正规且可分的代数扩张，使扩张次数与域自同构对称性在有限情形精确配平。及群阶公式。特征零的代数扩张自动可分，所以有限正规扩张直接就是 Galois 扩张。

正规扩张与正规子群公理库正规子群Normal subgroup在全群共轭下保持不变、因而可作为同态核并形成商群的子群。通过 Galois 对应相连。若 $E/F$ 有限 Galois，中间域 $K/F$ 正规，当且仅当固定 $K$ 的子群 $\mathrm{Gal}(E/K)$ 在 $\mathrm{Gal}(E/F)$ 中正规。域在所有基域自同构下保持不变，对应的正是子群在共轭下保持不变。