链复形的同伦范畴

$\mathbf{Ch}(\mathcal{A})$ 记录具体链映射，而 $K(\mathcal{A})$ 把差为 $dh+hd$ 的映射视为同一箭头。例如用不同选择将模同态提升到投射分解之间时，比较定理给出提升间的链同伦；在 $K(\mathcal{A})$ 中，这些提升就表示同一个态射。

当 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴时，链同伦的映射诱导相同同调映射，但同调还会忘掉更多信息。因此 $K(\mathcal{A})$ 比各次同调群保留了更细的结构：某个同调全为零的复形，仍可能不是其中的零对象。

令

两个非零项位于次数 $1,0$。取 $h_0:E_0\to E_1$ 为恒等映射，其余分量为零，就有 $dh+hd=1_E$，即 $1_E\simeq 0$。所以在 $K(\mathbf{Ab})$ 中

任何对象若恒等态射等于零态射，就是零对象；因此可缩复形 $E$ 在同伦范畴中同构于零复形。具体地，$E\to 0$ 与 $0\to E$ 的复合在零对象一侧严格为恒等，在 $E$ 一侧则只需同伦于恒等。

再看由非分裂短正合列组成的无同调复形

它的同调全为零，却不在 $K(\mathbf{Ab})$ 中同构于零，因为那将等价于可缩并迫使短正合列分裂。这说明同伦范畴没有把所有拟同构都变成同构；无同调对象仍可能非零。

逐次取核也未必能从链映射下降到同伦类。令 $C$ 仅在次数 $0$ 为 $\mathbb{Z}$，定义 $f,g:C\to E$，其中 $f_0=1$、$g_0=0$，其余分量为零。取 $h_0:C_0\to E_1$ 为恒等映射，就有 $f-g=dh+hd$，所以 $[f]=[g]$。然而逐次计算得到 $\ker f=0$、$\ker g=C$，二者连零次同调都不同。因此逐次核依赖具体代表元，不能据此定义同伦范畴中的核函子。

若 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴，同调函子理路链复形的同调Homology of a chain complex · Homology object以每次边界算子的核模去前一次边界算子的像所得的正合缺陷。在链同伦下不变，所以唯一地经 $K(\mathcal{A})$ 因子化：

固定模同态及两端的投射分解后，所有相容的提升都代表 $K(\mathcal{A})$ 中的同一个态射。若原模同态为恒等、两端为同一模的不同分解，比较定理便给出分解在 $K(\mathcal{A})$ 中的同构。内射分解也有相同结论。

取模范畴 $\mathcal{A}=R\text{-}\mathbf{Mod}$，导出范畴 $D(\mathcal{A})$ 从 $K(\mathcal{A})$ 进一步局部化，将拟同构形式地变成同构；在这一范围内，所得态射仍组成集合。[4] 上面的例子取 $R=\mathbb{Z}$：非分裂正合复形因同调全为零，到零复形的映射是拟同构，因此在 $D(\mathbf{Ab})$ 中成为零对象；它在 $K(\mathbf{Ab})$ 中却仍非零。导出范畴与移位态射理路导出范畴与移位态射Derived category · Quasi-isomorphism · Mapping cone · 导出范畴 · 拟同构 · 映射锥以明确的上链移位约定构造映射锥，证明拟同构等价于锥无同调，再证明有界上方投射复形可直接计算导出态射，完成 HomD(Z/2,Z[1])=Z/2。在模范畴中证明映射锥判据及投射替代的计算合法性，并算出 ${\mathrm{Hom}}_D(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}[1])=\mathbb{Z}/2$；直接在原对象之间计算同伦态射却只能得到零。