链同伦 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $f,g:C_\bullet\to D_\bullet$ 是两个链映射。从 $f$ 到 $g$ 的链同伦是一族次数升高 $1$ 的态射

h_n:C_n\longrightarrow D_{n+1}

满足对每个 $n$ ，

f_n-g_n=d_{n+1}^D h_n+h_{n-1}d_n^C.

简写为 $f-g=d_Dh+hd_C$ ，并记 $f\simeq g$ 。预加性范畴的 Hom 群提供了公式中的加法与负元。若使用上链指标，则 $h^n:C^n\to D^{n-1}$ 降低一次数，分量式为 $f^n-g^n=d_D^{n-1}h^n+h^{n+1}d_C^n$ 。

链同伦是链映射之间的等价关系。自反性取 $h=0$ ；对称性把 $h$ 换成 $-h$ ；传递性把两个同伦逐次相加。它还与前后复合相容：若 $f\simeq g$ ，则对可复合链映射 $a,b$ 有

afb\simeq agb.

若存在链映射 $f:C\to D$ 、 $g:D\to C$ 使

gf\simeq1_C, \qquad fg\simeq1_D,

则称 $C,D$ 链同伦等价， $f$ 与 $g$ 为链同伦逆。这里要求的是复合与恒等链映射同伦，不要求逐次真的互为逆。

直觉

链映射严格保持边界；链同伦则描述两种保持方式之间的“可控误差”。公式右侧的两项分别表示先沿 $h$ 提高次数再取边界，以及先取边界再沿 $h$ 提高次数。若 $f-g$ 能完全由这两种边界运动组成，那么它在循环模边界之后不可见。

可以把 $h$ 想成给每个链指定一条高一维的“棱柱”。两端的差是棱柱边界的一部分，其余侧面由 $hd$ 补齐。这个图像解释了为什么同伦映射对同调产生同一个结果，也解释了次数为什么必须恰好升高一。

链同伦公式中的两条次数匹配路径，以及 f≃g 蕴含相同同调态射 — 链同伦示意图

例子与边界

考虑集中在次数 $1,0$ 的链复形

C:\quad0\longrightarrow\mathbb Z \xrightarrow{1}\mathbb Z\longrightarrow0.

令 $h_0:C_0\to C_1$ 为恒等映射，其余 $h_n=0$ 。对次数 $0$ ，有 $dh_0=1_{C_0}$ ；对次数 $1$ ，有 $h_0d=1_{C_1}$ 。所以

1_C-0=dh+hd,

即恒等链映射与零链映射同伦。这样的复形称可缩。若 $z$ 是循环， $z=(dh+hd)z=d(hz)$ ，因而每个循环都是边界，所有同调群为零。

反向结论在一般环上失败。把不分裂的短正合列

0\longrightarrow\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z \longrightarrow\mathbb Z/2\mathbb Z\longrightarrow0

看成集中在次数 $2,1,0$ 的三项链复形，它处处正合，所以同调为零；但它不可缩。若存在收缩同伦，在次数 $0$ 的公式就是 $q h_0=1_{\mathbb Z/2}$ ，这会使 $h_0$ 成为模 $2$ 满射的群同态截面。可是 $\mathbb Z$ 中没有阶为 $2$ 的非零元素，因此这样的截面不存在。

前一个可缩复形中，恒等映射与零映射虽然逐次不同，却链同伦；后一个无同调复形中，这两个映射诱导的同调映射相同，却不链同伦。两者一起区分了逐次相等、链同伦和诱导相同同调映射这三种关系。

推论与应用

在模范畴中，若 $z\in C_n$ 为循环，则

(f_n-g_n)(z)=d_{n+1}^Dh_n(z),

是 $D_n$ 中的边界，所以 $H_n(f)=H_n(g)$ 。若 $f,g$ 互为链同伦逆，则 $H_n(g)H_n(f)=1$ 且 $H_n(f)H_n(g)=1$ ，因此它们在每个次数诱导互逆的同调同构。

链同伦是分解比较定理的唯一性机制。把同一个模同态提升到两个投射分解之间时，提升链映射可能依赖逐次选择，但任意两个提升链同伦；对内射分解亦然。因而在同调上取值后，选择差异消失，导出函子的对象和态射才具有典范意义。

参考资料

Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994，§1.4 “Chain Homotopies”。
Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009，Ch. 6, §6.2。
Peter J. Hilton and Urs Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 1997，Ch. IV, §1。

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