QR 分解

$Q$ 只负责重新选择一组不会放大 $2$-范数的正交坐标，$R$ 则记录原列怎样在这些坐标中逐层展开。于是矩阵列之间难以直接观察的几何关系，被组织成“正交方向加三角依赖”；求解和投影随后都能沿三角结构完成。

满列秩时，经济型 $Q$ 保存列空间需要的 $n$ 个方向；秩亏时，它的列还包含为凑足 $n$ 列而补出的方向。完整 $Q$ 再补上经济型 $Q$ 的列空间正交补中的 $m-n$ 个方向。默认保存后者往往只是浪费；但若问题确实需要完整正交基，补全才有意义。

取

先把第一列 $(1,1,1{)}^{\mathsf{T}}$ 除以长度 $\sqrt{3}$，得到 $q_1$。第二列在 $q_1$ 上的投影系数为 $q_1^{\ast }{a}_2=\sqrt{3}$，扣除投影后剩下 $(-1,0,1{)}^{\mathsf{T}}$；其长度为 $\sqrt{2}$，归一化得到 $q_2$。因此一个经济型分解为

$Q$ 是 $3\times 2$ 而非方阵，却仍满足 $Q^{\ast }Q=I_2$；$Q{Q}^{\ast }$ 则是到 $A$ 列空间的投影，不等于 $I_3$。例如 $z=(1,-2,1{)}^{\mathsf{T}}$ 同时垂直于两列，故 $Q^{\ast }z=0$、$Q{Q}^{\ast }z=0$，而 $I_{3}z=z$。这也解释了最小二乘中无法由列空间表达的那部分数据为何会留下残差。

若两列相同，第二个新方向为零，$R$ 的第二个对角元也为零。浮点中“恰好为零”会变成“相对矩阵尺度很小”，数值秩因此需要容差与噪声模型，不能把一个固定阈值写成数学唯一常数。

列主元 QR公理库列主元 QR 与数值秩证书Column-pivoted QR · CPQR · QR with column pivoting按变换后尾列的长度选择主元，以保留块的条件性和舍弃块的误差共同判断数值秩。 写成 $AP=QR$，每步比较变换后尾列的范数，通过优先处理较独立的列改善秩判断；保留块的最小奇异值与舍弃块的范数共同给出可检验的数值秩证书。求得置换后的参数 $y$ 后，用 $x=Py$ 恢复原顺序。平面旋转更适合只消去少数元素、维护稀疏结构或更新已有分解，但对一般稠密整列消去，Householder 是默认原语。

Gram–Schmidt公理库Gram–Schmidt 正交化Gram–Schmidt process把有限线性无关组逐步转化为张成同一子空间的正交规范组。给出 QR 的构造性几何证明，本页集中 full/economy 维度、Householder 实现、成本和有限精度差异。把 classical Gram–Schmidt 当作默认数值 QR，会把精确算术等价误写成稳定性等价。

随机化 SVD公理库随机化奇异值分解Randomized SVD · 随机 SVD用随机矩阵寻找近似列空间，再在其中做截断 SVD，分别量化子空间遗漏与秩截断的误差。先对采样矩阵 $Y=A\mathrm{\Omega }$ 正交化，再形成 $Q^{\mathsf{T}}A$ 做小矩阵分解。这里必须让 $Q$ 恰好张成 $Y$ 的列空间；若采样秩亏，不能把经济型 QR 为补齐列数而加入的方向当作样本捕获的方向。

满列秩最小二乘可在 QR 坐标中化为上三角系统；特征值 QR 算法和 Hessenberg 化也复用正交变换。使用成熟 LAPACK 接口时，分解、显式生成 $Q$、应用 $Q$ 是不同操作，应只调用实际需要的部分。

若任务变成“在 Frobenius 范数下找离一个非奇异方阵最近的正交矩阵”，目标由极分解与 Newton 正交化公理库极分解与 Newton 正交化Polar decomposition · Newton iteration for the polar factor证明可逆实矩阵的极分解及最近正交矩阵性质，以奇异值标量迭代解释 Newton 正交化，并区分正交因子与受限旋转。解决。QR 的 $Q$ 通常不是这个最近点；正对角上三角矩阵也可能需要一个非平凡的极因子。