分层 Monte Carlo

把积分域分成若干小区域，是为了确保每一区域都有预定的观察机会。层内仍随机，层总权重却固定。因此每层内部越平坦，剩余误差越小；边界漂亮或层数多本身都不是收益保证。

分层抽样与Neyman分配理路分层抽样与 Neyman 分配Stratified sampling · Neyman allocation在独立层内抽样的精确方差上优化人数或费用分配，说明 Neyman 公式与实际整数约束。也优化层内资源，但该页的随机对象是有限总体不放回设计，方差有 $1-n_h/N_h$ 修正。本页可以在同一层反复模拟新样本，没有“把该层抽完”的上界。共同的二次优化形式不能抹掉这两个实验的区别。

把二次积分分成左右两半 ​

令 $X\sim \mathrm{Uniform}(0,1)$、$f(x)=x^2$，按 $A_1=(0,1/2]$、$A_2=(1/2,1)$ 分层，两个概率都为 $1/2$。边界取法不影响连续分布。由积分直接算得

因此

这两个层内方差不同：右半区的平方函数更陡，相同长度不代表相同波动。等额配给 $N/2$ 个样本后，

原IID方差为 $4/(45N)=64/(720N)$，因此分层方差是原来的 $19/64$，约29.69%。差额 $45/(720N)=1/(16N)$ 恰好是两个层均值 $1/12,7/12$ 的层间方差除以 $N$，可反过来检查分解。

连续最优人数比为 $\sqrt{2}:\sqrt{17}$。总预算 $N=240$ 时可选整数配额 $(60,180)$，此时

等额 $(120,120)$ 的方差为 $19/172800$；普通240点均值为 $1/2700$。这只是一个可执行的近最优整数方案，不能把连续解的最优性直接盖到它头上。虽然第二层拿到四分之三样本，加权时仍用两个 $1/2$；若用样本比例 $(1/4,3/4)$，期望会变成 $11/24$，已经偏离目标 $1/3$。

任意配额可以浪费信息 ​

设层标签以等概率取1或2，输出在两层都独立取 $-1,+1$ 且等概率。两层均值都为0、方差都为1，普通 $N=100$ 次模拟方差是 $1/100$。比例配额 $(50,50)$ 达到相同方差；若改为 $(90,10)$，仍用正确层权重，则方差为

估计依然无偏，但小层样本的噪声被固定的二分之一权重放大，方差变为基准的 $25/9$ 倍。这个反例只改变配额，直接指出“不劣”结论所需的比例条件。

每层只有一个点时，输出行不能估出层内散布 ​

如果每层只抽一个点，点估计仍可无偏，但没有该层内部的重复来计算 $s_h^2$。把不同层输出混起来算普通样本方差，会同时混入层均值差异，且忽略不同权重，通常不是目标方差估计。可在每层增加独立重复，或独立重复整套分层设计；后者每套输出一个完整估计值，再跨套估计Monte Carlo误差。不能用“层数很多”替代独立同分布条件。

误差估计与执行 ​

若每层 $n_h\ge 2$，用层内样本方差 $s_h^2$ 构造

由于每个 $s_h^2$ 对 ${\sigma }_h^2$ 无偏，$\hat{V}$ 无偏估计分层均值方差；$\sqrt{\hat{V}}$ 本身一般不是标准差的无偏估计。固定层数、各 $n_h\to \mathrm{\infty }$ 且占比有正极限、总渐近方差为正时，可对各层均值联合应用独立中心极限定理理路中心极限定理Central limit theorem适当归一化的独立随机变量和在分布上趋于正态分布。，得到正态区间。层数随预算增长的单点分层需要另行分析，不能套这组固定层条件。

算法输入须包含层集合、准确 $w_h$、每层条件采样器、整数配额和种子分流。运行时逐层维护个数、均值、平方差；不变量为第 $h$ 层只处理来自该条件分布的样本，最后总贡献始终为 $w_h{\overline{Y}}_h$。函数求值总数为 $N$，累加成本 $O(N)$，额外在线统计量存储 $O(H)$，还应计入获得条件样本的真实成本。稀有层若靠拒绝抽样获取，可能消耗远多于 $n_h$ 次底层随机提议。

用先导数据估计层方差后，应冻结配额并使用独立主样本；此时条件于先导，前述无偏性与方差表达仍成立。若层边界也由先导选择，还必须能准确计算新层概率和按新条件分布取样。同一批样本边看边决定在哪层停止时，样本数与结果相关，固定配额方差式没有自动保留。

两个自测：若每层输出已知恒为 $a_h$，答案是 $\sum _h{w}_h{a}_h$，模拟方差为零；若有一层概率 $w_h>0$ 却配额为零且层均值未知，则本页估计量没有定义，不能将其贡献默认为零。极稀有也不等于可忽略。

多层Monte Carlo理路多层 Monte CarloMultilevel Monte Carlo · MLMC · 多层蒙特卡罗 · 望远镜层差模拟用独立层间、耦合层内的望远镜差值估计精细模型，联合控制离散偏差、层差方差及整数成本，并推导三种复杂度区域。也分配多组独立样本，但其“层”是近似精度，贡献为 $P_0$ 与相邻耦合差 $P_{\ell }-P_{\ell -1}$，各项权重1，合起来靠望远镜得到 $E{P}_L$。本页的层则是概率空间划分，权重为真实层概率；其总目标没有因为有限精度层级而自动产生截断偏差。两种费用分配共享平方根代数，估计对象和偏差责任不同。