二阶 U 统计量与一阶投影

形式陈述

令 $X_1,\ldots,X_n$ 是来自 $P$ 的IID样本， $n\ge2$ 。给定实值、可测、对称核 $h(x,y)=h(y,x)$ ，先假设 $E|h(X_1,X_2)|<\infty$ 。目标和二阶U统计量为

\theta=Eh(X_1,X_2),\qquad U_n=\binom n2^{-1}\sum_{1\le i<j\le n}h(X_i,X_j).

核中的两个位置应是独立抽样。每一项期望都是 $\theta$ ，故 $EU_n=\theta$ ，但不同核值可能共享一个输入，通常不独立。 $\binom n2$ 是核求值次数，不是独立样本量。

以下方差和极限定理进一步假设 $Eh(X_1,X_2)^2<\infty$ 。用条件期望定义

h_1(x)=E[h(x,X_2)]-\theta,\qquad h_2(x,y)=h(x,y)-\theta-h_1(x)-h_1(y).

积分版本在 $P$ 几乎处处意义下定义即可。条件期望的平方可积性保证两部分也在 $L^2$ 。它们满足

Eh_1(X)=0,\qquad E[h_2(X_1,X_2)\mid X_1]=0,

对第二个坐标也如此。最后这个条件称为二阶余项退化；它比单纯的总体均值为零更强。记 $\zeta_1=Eh_1(X)^2$ 、 $\zeta_2=Eh_2(X_1,X_2)^2$ 。

精确分解与方差

将核分解代入所有对的和。每个 $h_1(X_i)$ 恰好出现 $n-1$ 次，所以

U_n-\theta=\frac2n\sum_{i=1}^nh_1(X_i) +\binom n2^{-1}\sum_{i<j}h_2(X_i,X_j).

第一项称为一阶投影，第二项记为 $R_n$ 。它们不必独立，但正交：任一 $h_1(X_i)$ 与包含该索引的余项核，其乘积期望因条件均值为零而消失；索引不相交时由独立性消失。

不同余项核之间也不相关。如果两对无共同索引，由独立性可知；若例如共享 $X_1$ ，给定 $X_1$ 后， $X_2,X_3$ 独立，而且两个核的条件均值都为零，故

E[h_2(X_1,X_2)h_2(X_1,X_3)]=0.

逐项用协方差展开，得到精确公式

\operatorname{Var}(U_n)=\frac{4\zeta_1}{n} +\frac{2\zeta_2}{n(n-1)}.

这已经说明，非退化时主要误差通常仍为 $n^{-1/2}$ ，不是核行数平方根对应的 $n^{-1}$ 。共享索引的原核协方差为

\operatorname{Cov}(h(X_1,X_2),h(X_1,X_3))=\zeta_1,

因为给定 $X_1$ 后原核的条件均值是 $\theta+h_1(X_1)$ 。两种计算给出同一依赖机制。

非退化时的正态结论

若 $\zeta_1>0$ ，则 $nE R_n^2=2\zeta_2/(n-1)\to0$ ，故 $\sqrt nR_n\to_P0$ 。对IID单观测贡献 $2h_1(X_i)$ 用中心极限定理，再由Slutsky定理，得到

\sqrt n(U_n-\theta)\Rightarrow N(0,4\zeta_1).

这给出完整机制：先把成对依赖压缩到一阶独立和，再证明余项在相同尺度下可忽略。若 $\zeta_1=0$ ，这一论证只给退化零极限，并未提供有用的正态误差条；此时须检查第二阶结构。

直觉

一个偏大的 $X_i$ 可能让与它连接的许多核值同时偏大。把这些核值逐行当独立，等于把同一份信息重复计数。一阶投影量出“单独知道这个 $X_i$ ，全部成对平均会被推向哪个方向”；退化余项则是不靠任何单个观测就能解释的交互部分。

四个独立输入生成六条成对核值，共享顶点的核值相关，一阶投影回到四个单观测贡献 — 成对行数与独立输入数

退化不等于统计量恒为零。它仅表示平均偏移不能由单个坐标解释，剩余的二阶相互作用可能仍显著，而且具有另一种尺度与分布。

例子与边界

样本方差正是一个二阶U统计量

设 $EX=\mu$ 、 $\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$ ，取 $h(x,y)=(x-y)^2/2$ 。独立性使 $Eh(X_1,X_2)=\sigma^2$ 。代数恒等式

\sum_{i<j}(x_i-x_j)^2=n\sum_i(x_i-\bar x)^2

可由展开左右两边并使用 $\sum_{i<j}x_ix_j=((\sum_ix_i)^2-\sum_ix_i^2)/2$ 证明。因此 $U_n$ 恰为分母 $n-1$ 的样本方差。对数据 $(0,1,3)$ ，三个核值为 $(1/2,9/2,2)$ ，平均 $7/3$ ；直接计算围绕均值 $4/3$ 的平方差除以2，也得到 $7/3$ 。

若再有四阶中心矩 $\mu_4=E(X-\mu)^4<\infty$ ，令 $a=x-\mu,b=y-\mu$ ，可算出

h_1(x)=\frac{(x-\mu)^2-\sigma^2}{2},\qquad h_2(x,y)=-(x-\mu)(y-\mu).

故 $\zeta_1=(\mu_4-\sigma^4)/4$ 、 $\zeta_2=\sigma^4$ ，样本方差的精确方差为

\operatorname{Var}(U_n)=\frac{\mu_4-\sigma^4}{n} +\frac{2\sigma^4}{n(n-1)}.

以标准正态为例， $\sigma^2=1,\mu_4=3$ ，真实方差为 $2/(n-1)$ 。单个核 $h(X_1,X_2)$ 的方差为2，若错误地把全部 $\binom n2$ 个核值当IID，会得到 $4/[n(n-1)]$ ，少了 $n/2$ 倍； $n=10$ 时真实值 $2/9$ ，错误值 $2/45$ 。问题不在核行数算少了，而在忽略了共享输入。

一个完全可解的退化反例

令 $X_i$ 独立地以等概率取 $-1,+1$ ，核 $h(x,y)=xy$ 。目标 $\theta=0$ ，且 $E[h(x,X_2)]=xEX_2=0$ ，所以 $h_1=0$ ， $h_2=h$ 。于是

U_n=\frac{(\sum_iX_i)^2-n}{n(n-1)},\qquad \operatorname{Var}(U_n)=\frac2{n(n-1)}.

方差是 $n^{-2}$ 阶，但极限不是正态。由IID CLT及连续映射定理，

nU_n=\frac n{n-1}\left[\left(\frac{\sum_iX_i}{\sqrt n}\right)^2-1\right] \Rightarrow Z^2-1,\qquad Z\sim N(0,1).

这条极限下界为 $-1$ ，明显不对称。以四条输入 $(-1,-1,1,1)$ 为例，六个核值之和为 $-2$ ， $U_4=-1/3$ ；退化核仍可给出负估计值；其 $\zeta_1=0$ ，因而不满足上节非退化正态结论的条件。

有限二阶观测矩不等于有限二阶核矩

样本方差核需要检查 $Eh^2$ ，它涉及观测的四阶矩。若观测只有有限方差、四阶矩无穷，样本方差仍可无偏并一致，但本页的有限方差公式和普通根号样本量CLT不再由上述证明支持。应检查统计量核的矩条件，不能只看原始 $X$ 的方差是否有限。

推论与应用

用行均值估计投影，而不是把核行当样本

定义每个观测连接的核平均

r_i=\frac1{n-1}\sum_{j\ne i}h(X_i,X_j),\qquad \widehat h_{1i}=r_i-U_n,\qquad \widehat\zeta_1=\frac1n\sum_i\widehat h_{1i}^2.

注意 $n^{-1}\sum_ir_i=U_n$ ，故这些估计投影的样本均值恰为零。条件于 $X_i$ ，组成 $r_i$ 的其他输入独立，因此

E\left[\frac1n\sum_i\{r_i-\theta-h_1(X_i)\}^2\right] =\frac{E\operatorname{Var}(h(X_1,X_2)\mid X_1)}{n-1}\to0.

精确方差式使 $U_n\to_P\theta$ ，上式控制投影的经验平方误差，再以Cauchy–Schwarz不等式和 $h_1(X_i)^2$ 的大数律即可推出 $\widehat\zeta_1\to_P\zeta_1$ 。因此非退化时可用 $2\sqrt{\widehat\zeta_1/n}$ 作渐近标准误；它不是有限样本无偏标准差，在退化情形也没有正确校准的保证。

计算接口与适用范围

输入为 $n$ 个独立观测、对称核和目标核期望的解释。逐个访问 $i<j$ ，核值同时加进总和与两个端点的行和；完成后总计恰有 $n(n-1)/2$ 个无序对，每个行和恰含 $n-1$ 项。这是实现的不变量，能检查漏对、重复计数和分母错误。

一般核需 $O(n^2)$ 次求值；除保存输入外，若需要投影标准误，存 $n$ 个行和，额外存储 $O(n)$ ，不必保存整个核矩阵。仅求均值时总和本身为 $O(1)$ 额外累加状态。样本方差利用上面的恒等式可降为 $O(n)$ ，说明核形式不等于必须使用二重循环。若预算不足而只取部分对，就得到另一个估计规则，其额外抽对误差需单独分析。

MMD的无偏两样本估计同样出现共享输入与退化结构。但两组大小可不同、跨组项含全部 $mn$ 对，一般不能直接当成本页的一样本二阶核平均。该页保留两样本公式和检验校准；本页提供理解投影与独立单元的基础，而非替换它的全部渐近定理。

两个自测：若核是 $h(x,y)=(x+y)/2$ ，则 $h_1(x)=(x-EX)/2$ 、 $h_2=0$ ， $U_n$ 恰等于样本均值，方差为 $\operatorname{Var}(X)/n$ 。若只列出四个观测的六对，就宣称有六个独立观测，错误在独立单位：原始独立随机对象仍只有四个，核行的依赖必须进入方差。

本页在平方可积条件下的投影、方差与非退化极限结论，是固定阶Hoeffding分解在 $m=2$ 时的特例；开头仅需一阶可积的定义与无偏性保留其较宽条件。系数 $2$ 和余项系数 $1$ 来自一般组合重数。一般页另证明按任意子集容斥净化的canonical核、各阶正交方差，并计算三阶Rademacher乘积核的 $n^{3/2}$ 尺度与 $Z^3-3Z$ 极限；本页的二阶证明和实例均仍独立可读。

若因核昂贵而只随机取部分对，见不完全U统计量。条件于原始资料，均匀有放回抽 $B$ 对的计算方差为核表方差除以 $B$ ；解除条件后还必须加上完整U的资料方差。尤其本页的退化乘积核原方差为 $n^{-2}$ 阶，线性 $B$ 会把计算误差带回 $n^{-1}$ 阶，不能照搬非退化问题的预算。

参考资料

Peter Bartlett，STAT 210B, Spring 2013, Lecture 6，PDF第1–6页：U统计量、方差及样本方差核；第9–16页：投影的正交机制。
John Duchi，STATS 300B, Winter 2021, U Statistics，幻灯片16–17至16–19：一阶投影和非退化渐近正态。本页限定二阶对称核，以完整余项方差计算给出证明。
Wassily Hoeffding，“A Class of Statistics with Asymptotically Normal Distribution”，Annals of Mathematical Statistics 19(3)，1948，293–325页，U统计量的原始出处。

形式陈述 ​

精确分解与方差 ​

非退化时的正态结论 ​

样本方差正是一个二阶U统计量 ​

一个完全可解的退化反例 ​

有限二阶观测矩不等于有限二阶核矩 ​

用行均值估计投影，而不是把核行当样本 ​

计算接口与适用范围 ​

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