不可约元

不可约元是分解过程的终点：把它写成 $p=ab$ 时，至少有一个因子可逆。若 $a$ 可逆，则 $b=a^{-1}p$，只是把 $p$ 换成相伴元。例如 $6=2\cdot 3=(-2)(-3)$ 中，两个负号由单位 $-1$ 转移，因子的不可约性保持不变。

不可约性检查的是 $p$ 本身的分解；素性检查的是 $p$ 对所有乘积的整除行为。整数素数同时满足这两条性质。在更一般的整环中，一个元素可以已经拆不开，却仍整除两个都不含它的因子之积。

在 $\mathbb{Z}$ 中不可约元恰为 $\pm p$（$p$ 为素数）。Euclid 引理保证它们也都是素元，使不同分解中的因子可以逐一配对，从而得到算术基本定理公理库算术基本定理Fundamental theorem of arithmetic每个大于一的整数都能按次序无关且唯一地分解为素数乘积。的唯一性。

改变系数环会改变可用的因子。$x^2+1$ 在 $\mathbb{R}[x]$ 中不可约，因为域上二次多项式可约当且仅当有根，而它无实根；在 $\mathbb{C}[x]$ 中则分解为 $(x-i)(x+i)$。元素也可能变成单位：$2$ 在 $\mathbb{Z}$ 中不可约，在 $\mathbb{Q}$ 中有逆元 $1/2$，因而不再是不可约元。

在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 中，取范数 $N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2$，它保持乘法，范数为 $1$ 的元素恰为单位 $\pm 1$。若 $2=uv$ 且两因子都非单位，则 $N(u)N(v)=4$，只能有 $N(u)=N(v)=2$。但 $b\ne 0$ 时 $a^2+5b^2\ge 5$，$b=0$ 时又没有整数平方等于 $2$，所以 $2$ 不可约。

同一个元素 $2$ 却不是素元：它整除 $6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$，而 $\frac{1\pm \sqrt{-5}}{2}$ 的系数不是整数，因此不整除任一因子。这个整环中 $6$ 的两种不可约分解及其完整验证见唯一分解整环公理库唯一分解整环Unique factorization domain · UFD每个非零非单位元素都能唯一地分解为不可约元乘积的整环。。

素元必不可约的证明用到了整环的消去律。若素元 $p=ab$，不妨设 $p\mid a$，写成 $a=pc$，则 $p=pcb$。消去非零的 $p$ 得到 $1=cb$，所以 $b$ 是单位。

在主理想整环公理库主理想整环Principal ideal domain · PID每个理想都由单个元素生成的整环。中，不可约元 $p$ 还对应极大理想 $(p)$。若 $(p)\subseteq (d)\subseteq R$，则 $p=dc$；不可约性迫使 $d$ 是单位，或 $c$ 是单位，对应的理想便分别是 $R$ 或 $(p)$。因此二者之间没有其他理想，商环 $R/(p)$ 是域。反过来，非零极大主理想的生成元必不可约。

取域 $F$ 上的不可约多项式 $m$，就能构造域扩张公理库域扩张Field extension一个域作为另一域子域时形成的包含关系与相应向量空间结构。 $F[x]/(m)$。若 $\mathrm{deg}m=d$，每个剩余类唯一表示为 $a_0+a_1\overline{x}+\cdots +a_{d-1}{\overline{x}}^{d-1}$，其中 $\overline{x}$ 满足 $m(\overline{x})=0$。代数元 $\alpha$ 的极小多项式公理库极小多项式Minimal polynomial以给定代数元为根的首一不可约多项式。也必不可约：若它分成两个正次数因子，代入 $\alpha$ 后乘积为零，域中必有一个因子取值为零，与极小次数矛盾。