极小多项式

极小多项式给出 $\alpha$ 满足的最短多项式关系。若它的次数为 $d$，首一条件便让这个关系写成“${\alpha }^d$ 等于较低次幂的线性组合”；不断使用它，任意更高次幂都能降到 $1,\alpha ,\dots ,{\alpha }^{d-1}$ 的张成空间。极小性又保证这 $d$ 个元素线性无关，所以它们构成 $F[\alpha ]$ 的一组基。由于 $m_{\alpha ,F}$ 不可约，商环公理库商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。 $F[x]/(m_{\alpha ,F})$ 是域，故 $F[\alpha ]=F(\alpha )$，这组基也就给出了扩张次数。

$\sqrt{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式是 $x^2-2$：它以 $\sqrt{2}$ 为根，而任何一次有理系数多项式的根都是有理数，因此次数不能更低。若把基域扩大到 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$，系数已经可以使用 $\sqrt{2}$，极小多项式就降为 $x-\sqrt{2}$。

多项式 $x^4-4=(x^2-2)(x^2+2)$ 也以 $\sqrt{2}$ 为根，但包含了多余因子。相反，$2x^2-4$ 已有最低次数，却与 $x^2-2$ 相差一个非零常数倍；“首一”用来消除这种不唯一性。一般地，找到一个以 $\alpha$ 为根的不可约多项式后，除以首项系数，就得到极小多项式。

取 $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$。由 ${\alpha }^{-1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$ 可得

所以 $\mathbb{Q}(\alpha )=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$。其中 $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$：若 $\sqrt{3}=a+b\sqrt{2}$，$a,b\in \mathbb{Q}$，平方后比较 $1,\sqrt{2}$ 的系数，得到 $a^2+2b^2=3$ 与 $2ab=0$；无论 $a=0$ 还是 $b=0$，都要求一个有理数的平方等于 $3/2$ 或 $3$，不可能成立。塔式公式因此给出扩张次数 $2\cdot 2=4$。

另一方面，${\alpha }^2=5+2\sqrt{6}$，所以 $({\alpha }^2-5{)}^2=24$，整理得到

极小多项式整除这个四次首一多项式，而它的次数也等于扩张次数 $4$，所以二者相等。这个计算把两项任务分开完成了：消去根式给出一个多项式关系，扩张次数证明它已经最短。

保持 $F$ 不动的域嵌入必须把 $\alpha$ 送到 $m_{\alpha ,F}$ 的一个根；反过来，每个根都确定一个 $F(\alpha )$ 到代数闭包的 $F$-嵌入。因此极小多项式的不同根描述了共轭与嵌入，其是否有重根则决定 $\alpha$ 的可分性公理库可分扩张Separable extension · 可分域扩张扩张中每个代数元的最小多项式都没有重根，从而保留足够多的不同共轭嵌入。。把全部根补入后，就得到这个多项式的分裂域公理库分裂域Splitting field使给定多项式完全分裂且由其全部根生成的最小扩域。。

与线性算子的极小多项式公理库线性算子的极小多项式Minimal polynomial of an operator首一且次数最低、代入算子后为零的非零多项式。也有直接联系。把 $F(\alpha )$ 看作 $F$-向量空间，定义乘法算子 $T_{\alpha }(v)=\alpha v$，则 $p(T_{\alpha })$ 就是乘以 $p(\alpha )$ 的算子，故它为零当且仅当 $p(\alpha )=0$。所以这个乘法算子的极小多项式正是 $m_{\alpha ,F}$。但一般线性算子的极小多项式未必不可约：例如在 $\mathbb{Q}$ 上，$\mathrm{diag}(1,2)$ 的极小多项式为 $(x-1)(x-2)$。域中代数元的不可约性不能直接搬给任意算子。