域扩张

域扩张把“在原数系中解不出的方程”放进一个更大的运算世界。$x^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 中没有根，加入一个满足 $i^2=-1$ 的新元素后得到 $\mathbb{C}$。原有实数仍按原来的规则运算，新元素与它们一起对加、减、乘和非零除法保持封闭。

把 $E$ 看成 $F$ 上的向量空间后，新增元素可以用一组基坐标描述。扩张次数衡量这种描述需要多少个 $F$-坐标。二次扩张中的每个元素只需两个坐标；高次扩张则需要更多方向。域论由此获得线性代数的维数、基与线性无关工具。

复数域是实数域的二次扩张：

基可取 $\{1,i\}$，每个复数唯一写成 $a+bi$。这里 $i$ 的极小多项式是 $x^2+1$。

同样，

是 $\mathbb{Q}$ 的二次扩张。乘法后出现的 $(\sqrt{2}{)}^2$ 可重新化为 $2$，逆元也留在同一形式中。例如

一般地，对非零元素 $a+b\sqrt{2}$，乘以共轭可得

分母必非零：若 $a^2=2b^2$ 且 $b\ne 0$，就会得到有理数 $a/b$ 的平方为 $2$；若 $b=0$，则又有 $a=0$，均与条件矛盾。

一个通向数域算术的二次扩张 ​

令 $s=\sqrt{-5}$。多项式 $x^2+5$ 在 $\mathbb{Q}$ 中无根，故这个二次多项式不可约。于是 $K=\mathbb{Q}(s)$ 的基可取 $(1,s)$，次数为 $2$；每个元素唯一写成 $a+bs$，$a,b\in \mathbb{Q}$。将 $s^2$ 换成 $-5$，可直接得到坐标运算

非零元素的逆为

分母为零只可能发生在 $a=b=0$，因此这组坐标确实对除法封闭。例如 $(1+s{)}^{-1}=(1-s)/6$；由 $(1+s-1{)}^2=-5$ 得到 $1+s$ 满足 $x^2-2x+6=0$，它不是有理数，所以这个二次式就是其极小多项式。

这里允许有理坐标，故 $1/2$ 也属于 $K$。若要推广整数算术，还需从 $K$ 中选出适当的子环；代数整数与数域整数环公理库代数整数与数域整数环Algebraic integer · Ring of integers of a number field · 数域整数环用首一整数方程定义代数整数，并通过分母与奇偶性确定二次数域的整数环。会证明本例恰好得到整数坐标 $\mathbb{Z}[s]$。同一乘法的矩阵行列式则引出数域范数公理库数域范数Number field norm · Field norm over the rationals将数域元素的乘法视作有理线性算子，以行列式定义范数并用于整数环中的因子约束。。

有限扩张的边界 ​

超越扩张的行为不同。$\mathbb{Q}(t)$ 由一个元素 $t$ 生成，但

在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关，因此

这里“一个生成元”计算的是域生成元个数，“无限次”计算的是线性空间维数。$1/t$ 属于 $\mathbb{Q}(t)$，却不属于多项式环 $\mathbb{Q}[t]$。对于代数元 $\alpha$，情况更紧凑：其极小多项式公理库极小多项式Minimal polynomial以给定代数元为根的首一不可约多项式。把高次幂化为低次幂，并给出 $[F(\alpha ):F]=\mathrm{deg}{m}_{\alpha }$。

$\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ 也是无限次扩张。若次数有限为 $n$，则 $\mathbb{R}$ 作为 ${\mathbb{Q}}^n$ 的像只能是可数集，与实数不可数矛盾。

若 $f\in F[x]$ 不可约，则商环公理库商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。

是域。令 $\bar{x}$ 表示 $x$ 的剩余类，就有 $f(\bar{x})=0$。商构造把“加入一个根”实现为可直接计算的多项式余式运算。

加入一个根未必使多项式完全分解。继续添加剩余根，直到多项式化为一次因子的乘积，得到分裂域公理库分裂域Splitting field使给定多项式完全分裂且由其全部根生成的最小扩域。。分裂域把方程的全部根放进同一个最小环境，为比较根之间的代数对称提供基础。

塔式定理公理库扩张次数与塔式定理Extension degree · Tower law · 扩域次数以向量空间维数度量域扩张，并将一座有限扩张塔的次数分解为逐层次数之积。控制逐层扩张：若 $F\subseteq K\subseteq E$，且相关次数有限，则

它使“分阶段添根”的总复杂度可以相乘计算，也给出尺规作图中的次数障碍。例如，只允许连续二次扩张时，最终可构造数的次数必须是二的幂。

有限域 ${\mathbb{F}}_{p^n}$ 可以从 ${\mathbb{F}}_p$ 上的 $n$ 次不可约多项式构造。域扩张次数在这里同时决定向量空间维数与元素总数：

数域中的每个元素都在 $\mathbb{Q}$ 上代数，因为 $1,\alpha ,\dots ,{\alpha }^n$ 在 $n$ 维空间中必线性相关。反过来，全部代数数构成的 $\bar{\mathbb{Q}}$ 不是数域：它含有 $x^m-2$ 的根，而这个多项式由 Eisenstein 判据不可约，因而包含任意高次数的子扩张。逐元素代数不能替代整个扩张有限。

更深一层，Galois 群公理库伽罗瓦群Galois group固定基域的扩域自同构在复合下形成的群。记录扩张中保持基域不动的自同构。域扩张把“方程有哪些根”转化为一个对象，Galois 理论再把“这些根如何被对称地置换”转化为群。