整扩张

“首一”是整性的支点。方程最高次项系数为 $1$，才能把高次幂 $b^n$ 表成较低次幂的 $A$-线性组合，而无需除以一个可能不可逆的系数。于是整元素虽然可能不在 $A$ 中，却不会带来新的无限多项式方向；围绕它生成的代数在模意义下仍由有限个幂控制。

当 $A\subseteq B$ 都是域时，整性等同于代数性：把一个非零多项式方程除以首项系数，就得到首一方程。整数系数时则能看出区别，$1/2$ 满足 $2T-1=0$，但除以首项系数后得到的 $T-1/2$ 已没有整数系数。

高斯整数扩张 $\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}[i]$ 是整扩张，因为 $i$ 满足首一方程 $T^2+1=0$，且每个 $a+bi$ 都在有限 $\mathbb{Z}$-模 $\mathbb{Z}[i]$ 中，因而整。尖点参数化

也是整扩张：$t$ 满足 $T^2-t^2=0$，其中系数 $t^2$ 属于基环；又 $k[t]=k[t^2,t^3]+tk[t^2,t^3]$，所以作为基环上的模由 $1,t$ 生成。

扩张 $\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}[1/2]$ 则不整。若 $(1/2{)}^n+a_{n-1}(1/2{)}^{n-1}+\cdots +a_0=0$，乘以 $2^n$ 后得到 $1+2a_{n-1}+\cdots +2^n{a}_0=0$，左侧为奇数，矛盾。这证明 $1/2$ 满足的非首一整数方程无法替换成首一整数方程。

有限域的代数闭包 $\overline{{\mathbb{F}}_p}/{\mathbb{F}}_p$ 是整扩张，却具有无限维数，因为其中包含任意有限次数的扩域 ${\mathbb{F}}_{p^n}$。每个元素单独满足首一方程，并不要求整个扩域由有限多个元素生成；当整扩张又是有限型代数时，有限个生成元的首一方程才共同给出有限模生成集。

整性还能逐点检测：$b\in B$ 在 $A$ 上整，当且仅当对 $A$ 的每个素理想 $\mathfrak{p}$，它在 $B_{\mathfrak{p}}$ 中的像都整于 $A_{\mathfrak{p}}$。这里 $B_{\mathfrak{p}}$ 是把 $A\setminus \mathfrak{p}$ 的像作分母进行的局部化公理库环的局部化Localization of rings把指定乘法闭集中的元素形式地变为可逆元所得的环。。一个局部首一方程只涉及有限个分母，因而在包含 $\mathfrak{p}$ 的某个主开集上就已成立；Zariski 素谱公理库素谱上的 Zariski 拓扑Zariski topology on Spec以包含给定理想的素理想集合为闭集，在环的素谱上建立的自然拓扑。的拟紧性公理库紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。给出有限个这样的开集，进而将 $A[b]$ 的有限生成性从局部拼回整体。

所有在 $A$ 上整的 $B$ 中元素组成子环，称为 $A$ 在 $B$ 中的整闭包。若 $b,c$ 分别满足次数为 $m,n$ 的首一方程，则 $A[b,c]$ 由有限个单项式 $b^i{c}^j$（$0\le i<m$、$0\le j<n$）生成。对这个有限模中的乘法算子使用行列式技巧，就证明 $b+c$、$-b$ 和 $bc$ 也整。

整性具有传递性：若 $A\subseteq B\subseteq C$，且 $B/A$、$C/B$ 都整，则 $C/A$ 整。它还在局部化和取商下保持。

对整扩张的包含映射 $A\subseteq B$，上卧定理保证 $\mathrm{Spec}B\to \mathrm{Spec}A$ 满射，即每个基环素理想都有扩环中的素理想位于其上。升链定理进一步把基环的素理想链提升到扩环。Noether 正规化则为域上的有限生成交换代数找到一个多项式子环，使原代数在它上面成为有限模，从而把维数研究归结到独立参数的个数。