素理想处的局部化

素理想 $\mathfrak{p}$ 代表素谱理路环的素谱Prime spectrum · Spec of a ring把交换环的全部素理想视为点，并以反变方式记录环同态的空间。中的一个点。在该点不消失的元素正是 $R\setminus \mathfrak{p}$，把它们全部变成可逆元，就允许在该点附近用它们作分母。分式 $a/s$ 描述函数在 $\mathfrak{p}$ 附近的芽：两个表达式若在某个更小邻域上一致，就视为同一个局部函数。

局部化会抹去不经过 $\mathfrak{p}$ 的素理想。扩张与收缩给出一一对应

其中 $\mathfrak{q}$ 对应 $\mathfrak{q}{R}_{\mathfrak{p}}$。原因是素理想 $\mathfrak{q}$ 能保留下来，当且仅当它不含任何被变为单位的元素，即 $\mathfrak{q}\cap (R\setminus \mathfrak{p})=\varnothing$，这正好等价于 $\mathfrak{q}\subseteq \mathfrak{p}$。这些点都能特化到 $\mathfrak{p}$，而 $\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}$ 成为唯一闭点。

取 $R=\mathbb{Z}$、$\mathfrak{p}=(p)$，则

分母允许含除 $p$ 外的任意素因子。其唯一极大理想由 $p$ 生成，剩余域为 ${\mathbb{F}}_p$。例如在 ${\mathbb{Z}}_{(3)}$ 中，$2/5$ 是单位而 $6/5$ 不是；后者落在 $3{\mathbb{Z}}_{(3)}$ 中。

在 $k[x,y]$ 的点 $\mathfrak{m}=(x,y)$ 处，

分母在原点非零，所以这些分式确实在原点附近有定义。若改在素理想 $(x)$ 处，分母只需不被 $x$ 整除；此时 $y$ 已成为单位，而唯一极大理想由 $x$ 生成。

若 $R=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 且 $\mathfrak{p}=(\overline{2})$，补集中含 $\overline{3}$，局部化后 $\overline{3}$ 成为单位，而 $\overline{3}\overline{2}=0$ 迫使 $\overline{2}$ 消失。规范映射的核为 $(\overline{2})$，实际得到 ${\mathbb{F}}_2$。这里局部化识别了原环的不同元素；对整环则由消去律保证规范映射单射，$R_{\mathfrak{p}}$ 可实现为分式域的子环。

局部环的剩余域可以直接从原环计算：

它记录在该谱点上取值所落入的域。素谱结构层理路概形与结构层Scheme · Structure sheaf · 概形在主开集上清分母证明结构层的粘合与茎公式，用双数区分拓扑点和局部环，再把两条仿射线粘成射影直线并计算全部全局正则函数。的茎正是 $R_{\mathfrak{p}}$：任意分式 $a/s$ 可在 $D(s)$ 上表示；若其在 $R_{\mathfrak{p}}$ 中为零，某个不属于 $\mathfrak{p}$ 的元素消去分子，再缩小主开邻域即可把截面消去。这个具体证明把拓扑上的“一点附近”翻译成完全代数的对象；剩余域取值则比函数芽忘掉更多信息。

模是否为零可以逐素理想检验。若 $0\ne m\in M$，其零化理想 $\mathrm{Ann}(m)$ 为真理想，选一个包含它的极大理想理路极大理想Maximal ideal在真理想按包含关系中极大的理想，其商环为域。 $\mathfrak{p}$。若 $m/1=0$，便有 $s\notin \mathfrak{p}$ 使 $sm=0$，与 $\mathrm{Ann}(m)\subseteq \mathfrak{p}$ 矛盾。因此 $M=0$ 当且仅当所有 $M_{\mathfrak{p}}=0$。

模的局部化函子保持短正合列，所以对同态的核与余核应用上述判据，就能逐点检验单射、满射和同构。Krull 维数理路Krull 维数Krull dimension以素理想严格包含链长度的上确界度量交换环的代数维数。方面，$R_{\mathfrak{p}}$ 的素理想链对应原环中由 $\mathfrak{p}$ 包含的素理想链；计算链长度的上确界时可把 $\mathfrak{p}$ 作为末端，故