素谱上的 Zariski 拓扑

在经典仿射几何中，一族多项式的公共零点形成闭集。素谱把“点 $a$ 使函数 $f$ 为零”改写成“对应素理想 $\mathfrak{p}$ 含有 $f$”。于是 $V(I)$ 是 $I$ 中每个函数同时消失的点集。理想越大，施加的方程越多，零点越少，所以

例如加入方程 $x=0$ 后，再加入 $y=0$，会把整条直线的零点集缩小到原点。

主开集 $D(f)$ 是 $f$ 不消失的区域，其函数环是局部化 $R_f$。交集 $D(f)\cap D(g)=D(fg)$ 对应同时允许 $f,g$ 作分母：将 $fg$ 变为单位后，$f$ 的逆为 $g/(fg)$，$g$ 的逆为 $f/(fg)$。开集相交与分母选择由此相互对应。

在 $\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ 中，对非零整数 $n$，

只含有限多个闭点；例如 $V((12))=\{(2),(3)\}$。主开集 $D(6)$ 含泛点 $(0)$ 以及所有 $(p)$，唯独去掉 $(2)$、$(3)$。点 $(0)$ 的闭包是整个谱，因为 $V((0))=\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$；因此它不是闭点，却是稠密的泛点。

在 $\mathrm{Spec}k[x,y]$ 中，$V((x))$ 同胚于 $\mathrm{Spec}k[y]$，是一条闭直线，$D(x)$ 是其补集。若 $k$ 代数闭，极大理想 $(x-a,y-b)$ 给出平面上的坐标点，素理想 $(x)$ 则是这条直线的泛点。

存在严格包含 $\mathfrak{p}⊊\mathfrak{q}$ 时，$\mathfrak{q}$ 属于 $\mathfrak{p}$ 的闭包，意味着 $\mathfrak{q}$ 的每个开邻域都含 $\mathfrak{p}$。因此这两个点不能用不交开集分离，该谱不是 Hausdorff 空间。

无限并可产生非闭集合。例如 $\mathrm{Spec}\mathbb{C}[t]$ 的所有闭点 $(t-a)$ 的并不含泛点 $(0)$，所以是谱的真子集；但它包含无限多个闭点，而每个真闭集只含有限多个闭点，因此它的闭包是整个谱。这具体展示了无限个闭集的并可以不闭。

闭集 $V(I)$ 由根理想 $\sqrt{I}$ 唯一确定。它的不可约闭子集恰为 $V(\mathfrak{p})$，其中 $\mathfrak{p}$ 是包含 $I$ 的素理想；$\mathfrak{p}$ 本身是该子集唯一的泛点。于是代数中的素性与拓扑中的不可约性相对应。极小素理想给出 $\mathrm{Spec}R$ 的不可约分支，而素理想包含链给出点的特化链。

保幺环同态理路环同态Ring homomorphism保持加法与乘法的映射；保持单位元时称为保幺环同态。 $\phi :R\to S$ 诱导的 ${\phi }^{\ast }:\mathrm{Spec}S\to \mathrm{Spec}R$ 连续，因为

这里 $IS$ 表示由 $\phi (I)$ 生成的理想：一个素理想 $\mathfrak{q}\subset S$ 的逆像包含 $I$，恰好等价于 $\mathfrak{q}$ 包含 $\phi (I)$，也就包含 $IS$。局部化理路环的局部化Localization of rings把指定乘法闭集中的元素形式地变为可逆元所得的环。映射 $R\to R_f$ 则把 $\mathrm{Spec}{R}_f$ 同胚地识别为主开集 $D(f)$，为在不同开集上描述和黏合函数提供坐标。

素谱总满足开覆盖的有限子覆盖性质，即本库所说的紧性理路紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。；代数几何通常称它为拟紧，不附带 Hausdorff 条件。把任意开覆盖细化成主开覆盖 $\bigcup _{\lambda }D(f_{\lambda })=\mathrm{Spec}R$。若这些 $f_{\lambda }$ 生成真理想，它就包含在某个极大理想理路极大理想Maximal ideal在真理想按包含关系中极大的理想，其商环为域。中，该素点将不属于任何 $D(f_{\lambda })$，矛盾。因此 $1$ 是有限多个 $f_{\lambda }$ 的线性组合，这有限多个主开集已覆盖全谱；各自回到原覆盖成员便得到有限子覆盖。