环的素谱

一个素理想 $\mathfrak{p}$ 把环中的元素分成“在该点消失”和“在该点附近可作为分母”两类。商环理路商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。 $R/\mathfrak{p}$ 无零因子，因而还能嵌入分式域；这给出该点的剩余域

映射 $R\to R/\mathfrak{p}\to \kappa (\mathfrak{p})$ 就是把环元素在该谱点求值，取值为零恰好意味着元素属于 $\mathfrak{p}$。极大理想对应闭点，非极大素理想则是更大不可约闭子空间的泛点；它的闭包记录这整个子空间。

环同态 $\phi :R\to S$ 将 $R$ 中的函数送成 $S$ 中的函数，因此诱导的点映射从 $\mathrm{Spec}S$ 走向 $\mathrm{Spec}R$。例如 $\phi :k[t]\to k[x]$ 由 $t\mapsto x^2$ 给出。对 $x$ 直线上的点 $b$，拉回求值核 $(x-b)$ 得到 $(t-b^2)$，所以对应的点映射是 $b\mapsto b^2$。

对域 $k$，$\mathrm{Spec}k=\{(0)\}$。对整数环，

点 $(p)$ 是闭点，$(0)$ 则是整个谱的泛点：它的闭包包含所有素理想。它们的剩余域也不同，分别是 ${\mathbb{F}}_p$ 和 $\mathbb{Q}$。

对 $k[x]$，若 $k$ 代数闭，闭点为 $(x-a)$，$(0)$ 是整条直线的泛点。若 $k$ 不代数闭，还会有高次不可约多项式生成的闭点。例如 $\mathrm{Spec}\mathbb{R}[x]$ 中的 $(x^2+1)$ 是闭点，剩余域为 $\mathbb{C}$；它记录了一个在扩域中才有根的多项式关系。

乘积环揭示谱会把幂等分解看成空间的不交并：

因为 $(1,0)(0,1)=0$，每个素理想必须包含这两个幂等元之一，从而包含一个完整分量。所有素理想因此恰为 $\mathfrak{p}\times S$ 或 $R\times \mathfrak{q}$，两类互不相交。

给 $\mathrm{Spec}R$ 配上Zariski 拓扑理路素谱上的 Zariski 拓扑Zariski topology on Spec以包含给定理想的素理想集合为闭集，在环的素谱上建立的自然拓扑。后，点的闭包为

因此 $\mathfrak{p}$ 可特化到 $\mathfrak{q}$ 当且仅当 $\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{q}$。素理想严格升链记录从泛点走向更特殊点的过程，所有有限链长度的上确界给出 Krull 维数。例如在 $k[x,y]$ 中，$(0)⊊(x)⊊(x,y)$ 依次表示平面的泛点、直线的泛点和原点。

谱还组织了局部信息。在主开集 $D(f)$ 上使用局部化环 $R_f$，并把这些环在重叠开集上的限制配合起来，就得到谱的结构层。概形与结构层理路概形与结构层Scheme · Structure sheaf · 概形在主开集上清分母证明结构层的粘合与茎公式，用双数区分拓扑点和局部环，再把两条仿射线粘成射影直线并计算全部全局正则函数。用清分母证明这些分式能唯一粘合，并验证点 $\mathfrak{p}$ 的茎就是局部环 $R_{\mathfrak{p}}$。双数谱与域谱的底层空间都只有一个点，结构层却不同；因此仿射概形需要同时保留拓扑与局部函数环。