分布函数

$F(x)$ 从左向右扫描实线，把阈值 $x$ 左侧的全部概率质量累积起来。质量只能增加，所以函数非降；扫过一个原子时会跳跃，跳跃大小正是

平坦区间表示变量不会落入该区间，而斜率只在分布确有密度的部分才代表局部概率强度。

右连续性来自事件的连续性。若 $x_n\downarrow x$，则事件 $\{X\le x_n\}$ 递减到 $\{X\le x\}$，故概率也递减到 $F(x)$。端点极限同理：$\{X\le n\}\uparrow \mathrm{\Omega }$，而 $\{X\le -n\}\downarrow \varnothing$。这些形状约束直接投影了概率测度的可数可加性，并未额外要求函数光滑。

设 $X$ 以概率 $1/2$ 取 $0$，其余概率均匀铺在 $[0,1]$。它的 CDF 为

$x=0$ 处的跳跃记录原子质量，$(0,1)$ 上的线性增长记录连续部分。同一个分布同时拥有离散与连续成分，CDF 不需要先把它们拆开便能完整表示。

端点是否包含会影响区间概率。一般有

而

若 $a$ 是原子，两式恰好相差 $\mathbb{P}(X=a)$。把所有区间概率都机械写成 $F(b)-F(a)$，会悄悄丢掉左端点质量。

CDF 连续只表示没有原子，不保证存在概率密度函数公理库概率密度函数Probability density function · PDF概率分布相对于指定参考测度的 Radon–Nikodym 导数。。Cantor 分布的 CDF 连续、非降且在许多区间上平坦，却对应一个集中在 Lebesgue 零测集上的奇异分布。反之，有密度的分布必有绝对连续 CDF，而且其导数只需几乎处处等于密度。

标准约定使用 $\mathbb{P}(X\le x)$，因此得到右连续函数；使用 $\mathbb{P}(X<x)$ 会得到左连续版本。两者都携带分布信息，但混用约定会在原子位置产生错误。

广义分位数定义为

即使 $F$ 有跳跃或平坦区间，这个定义仍然有效；它不要求普通反函数存在。若 $U\sim U(0,1)$，则 $F^{-1}(U)$ 具有 CDF $F$，这给出逆变换采样的统一形式。跳跃会把一段 $u$ 值映到同一个原子，恰好产生所需点质量。

尾概率可由 $1-F(x)$ 读取，但要注意它表示 $\mathbb{P}(X>x)$；若要 $\mathbb{P}(X\ge x)$，还需保留 $x$ 处跳跃。依分布收敛则要求 $F_n(x)\to F(x)$ 只在极限 CDF 的连续点上成立，因为跳跃点无法同时从左右稳定约束。

这一连续点限定可以直接看到：对 ${\mu }_n=\frac{1}{2}{\delta }_{1/n}+\frac{1}{2}\mathrm{Unif}[1,2]$，有

极限 CDF 把第一项换为 $\frac{1}{2}{\mathbf{1}}_{\{x\ge 0\}}$。故 $F_n(0)=0$ 与 $F(0)=1/2$ 始终不同，但在每个 $x\ne 0$ 都收敛。Portmanteau 定理公理库Portmanteau 定理Portmanteau theorem · Portmanteau lemma · 移植定理把概率测度的弱收敛等价改写为开闭集不等式、半连续函数不等式与连续集上的测度收敛。把原因定位为边界单点 $\{0\}$ 的正质量；依分布收敛公理库依分布收敛Convergence in distribution · Weak convergence分布函数在极限分布连续点处收敛的随机变量收敛概念。不要求在这个跳点也取极限等式。

一维中 CDF 兼容离散、连续、混合和奇异分布，是最稳健的通用表示。高维联合 CDF 仍能确定联合分布，但单变量的区间差公式会变成矩形上的多重容斥，分位数也不再有唯一自然的全序定义。