Portmanteau 定理

形式陈述 ​

设 $S$ 是度量空间，${\mu }_n,\mu$ 是 $S$ 上的 Borel 概率测度。下列条件等价：

1. ${\mu }_n\Rightarrow \mu$，即发生测度的弱收敛公理库测度的弱收敛Weak convergence of measures · Weak convergence of probability measures以所有有界连续测试函数的积分收敛来定义有限 Borel 测度的拓扑收敛。；
2. 对每个开集 $G\subseteq S$，$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\mu }_n(G)\ge \mu (G);$$
3. 对每个闭集 $F\subseteq S$，$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\mu }_n(F)\le \mu (F);$$
4. 对每个 Borel 集 $A$，若其边界公理库内部、闭包与边界Interior, closure, and boundary集合的最大开子集、最小闭超集及二者确定的边界。满足 $\mu (\partial A)=0$，则 ${\mu }_n(A)\to \mu (A)$；这样的 $A$ 称为 $\mu$-连续集；
5. 对每个有界下半连续函数 $f$，$$\underset{n}{lim inf}\int fd{\mu }_n\ge \int fd\mu ,$$而对每个有界上半连续函数 $g$，$$\underset{n}{lim sup}\int gd{\mu }_n\le \int gd\mu .$$

对有限但非概率的正测度，还要显式控制总质量；例如要求 ${\mu }_n(S)\to \mu (S)$。上列开闭集方向不能互换：开集配下极限“$\ge$”，闭集配上极限“$\le$”。

证明：从连续探针到边界，再返回积分 ​

连续探针控制闭集，补集控制开集 ​

空闭集的不等式显然成立。对非空闭集 $F$，令

$$f_k(x)=max\{1-kd(x,F),0\}.$$

距离函数连续，且 ${\mathbf{1}}_F\le f_k\downarrow {\mathbf{1}}_F$。对每个固定 $k$，先让 $n\to \mathrm{\infty }$：

$$\underset{n}{lim sup}{\mu }_n(F)\le \underset{n}{lim}\int f_{k}d{\mu }_n=\int f_{k}d\mu .$$

再令 $k\to \mathrm{\infty }$，由控制收敛定理公理库控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。得到闭集上界。两次极限的顺序有具体作用：先用连续函数测试序列，再把连续函数压到不连续的指标函数。对 $F=S\setminus G$ 取补集，利用两边总质量均为 $1$，便得到开集下界。

若 $\mu (\partial A)=0$，由 $A^{\circ }\subseteq A\subseteq \bar{A}$ 得

$$\mu (A^{\circ })\le \underset{n}{lim inf}{\mu }_n(A)\le \underset{n}{lim sup}{\mu }_n(A)\le \mu (\bar{A}).$$

两端都等于 $\mu (A)$，所以连续集上的概率收敛。

连续集判据为何足以恢复所有连续积分 ​

现在反过来，只假设每个 $\mu$-连续集的概率收敛。对任意有界连续 $f$，通过平移和正比例缩放，可先假定 $0\le f\le 1$；常值函数由总质量固定直接处理。令 $A_t=\{x:f(x)>t\}$。连续性保证

$$\partial A_t\subseteq \{x:f(x)=t\}.$$

不同 $t$ 的水平集彼此不交，具有正 $\mu$ 质量的水平至多可数：对每个正整数 $m$，质量至少为 $1/m$ 的水平最多有 $m$ 个，再对 $m$ 取并即可。因此除至多可数个 $t$ 外，$A_t$ 都是 $\mu$-连续集，且 ${\mu }_n(A_t)\to \mu (A_t)$。

用Lebesgue 积分公理库Lebesgue 积分Lebesgue integral从简单函数积分出发，按单调逼近定义非负、扩展值与可积函数的积分。的水平分层公式，

$$\int fd{\mu }_n={\int }_0^1{\mu }_n(A_t)dt.$$

被积函数介于 $0$ 与 $1$，并在 Lebesgue 几乎处处的 $t$ 上收敛；控制收敛定理给出

$${\int }_0^1{\mu }_n(A_t)dt⟶{\int }_0^1\mu (A_t)dt=\int fd\mu .$$

撤销平移缩放，便恢复弱收敛的定义。至此，前四项已经形成完整的等价链。

半连续函数条目也来自开集界 ​

下半连续的准确方向是：若 $x_j\to x$，则 $f(x)\le \underset{j}{lim inf}f(x_j)$。它允许极限点的函数值向下跳，禁止向上的孤立尖峰；例如开集的指标函数在边界取 $0$，正是下半连续函数。

对有界下半连续 $f$，先减去下界，设 $0\le f\le M$。每个超水平集 $\{f>t\}$ 都开。由开集下界与Fatou 引理公理库Fatou 引理Fatou's lemma非负可测函数列下极限的积分不超过积分的下极限。，

$$\begin{array}{rl}\int fd\mu & ={\int }_0^M\mu (\{f>t\})dt\\ & \le {\int }_0^M\underset{n}{lim inf}{\mu }_n(\{f>t\})dt\\ & \le \underset{n}{lim inf}{\int }_0^M{\mu }_n(\{f>t\})dt=\underset{n}{lim inf}\int fd{\mu }_n.\end{array}$$

总质量相同使减去下界不影响不等式。对上半连续 $g$ 使用下半连续函数 $-g$ 得到反向上界。反过来，连续函数同时是上、下半连续函数，两条界将积分夹成等式。因此第五项也与弱收敛等价。

直觉

连续探针会把事件的硬边界平滑成一条过渡带。弱收敛控制每条固定宽度的过渡带，却不阻止质量最终停在边界上：开集不接纳边界，因此可能丢掉这部分质量；闭集接纳边界，因此可能获得这部分质量。这正对应开集下界与闭集上界的不同方向。

若极限测度不给边界质量，从集合内部和外部逼近得到的两条界便重合，事件概率因此收敛。关键是极限边界上的质量，而不是每个近似测度是否避开边界。

例子与边界

同一测度列上的四种事件 ​

沿用弱收敛页公理库测度的弱收敛Weak convergence of measures · Weak convergence of probability measures以所有有界连续测试函数的积分收敛来定义有限 Borel 测度的拓扑收敛。已经对任意连续探针证明过的序列：$\lambda$ 为 $[1,2]$ 上均匀概率，

$${\mu }_n=\frac{1}{2}{\delta }_{1/n}+\frac{1}{2}\lambda ,\mu =\frac{1}{2}{\delta }_0+\frac{1}{2}\lambda .$$

事件	${\mu }_n$ 概率（所有 $n\ge 1$）	$\mu$ 概率	边界与结论
开集 $G=(0,3)$	$1$	$1/2$	$\mu (\partial G)=1/2$；下极限界严格
闭集 $F=\{0\}$	$0$	$1/2$	$\mu (\partial F)=1/2$；上极限界严格
$C=(-1/2,3/2]$	$3/4$	$3/4$	$\mu (\partial C)=0$；连续集概率收敛
$A=(0,3]$	$1$	$1/2$	${\mu }_n(\partial A)=0$，但 $\mu (\partial A)=1/2$

第一行中，原子一直在开集内部，落到零点后却不再属于开集。开集可以在极限中失去贴边质量，因此方向是 $lim inf{\mu }_n(G)\ge \mu (G)$。第二行正好接住这枚原子：闭集可以在极限中获得边界质量，方向是 $lim sup{\mu }_n(F)\le \mu (F)$。两行同时说明，不等式既不能反向，也不能普遍换成等号。

第三行可拆成两笔计算。移动原子与极限原子都在 $C$ 中，贡献 $1/2$；均匀部分在 $[1,3/2]$ 的长度为 $1/2$，乘上混合权重 $1/2$，贡献 $1/4$。边界 $\{-1/2,3/2\}$ 没有极限原子，所以总概率 $3/4$ 稳定。集合既非开也非闭，不妨碍连续集判据适用。

最后一行说明条件必须检查极限测度。每个近似测度都不给边界 $\{0,3\}$ 质量，仍然挡不住原子最终集中到零点。反之，$\mu (\partial A)>0$ 也不意味着特定序列必然不收敛：若 ${\mu }_n=\mu$，所有集合的概率都恒定。连续集条件提供统一的充分保证，并非针对每一条序列的必要条件。

适用边界 ​

本页的完整等价性针对概率测度。若只保留一般有限正测度的闭集上界，总质量可能丢失，例如零测度序列对任意非零有限 $\mu$ 都满足该上界，却不弱收敛到 $\mu$。加上总质量收敛后才可恢复相应有限测度版本。

半连续不等式也不是任意无界函数的积分收敛定理。对非负下半连续函数，可用截断继续得到扩展值的下界；若要一阶矩或其他无界观察量的积分真正收敛，还须另有一致可积性等控制。

推论与应用

闭集不等式可快速证明弱极限的支撑约束。若每个 ${\mu }_n$ 都集中在同一闭集 $F$，则 $1=\underset{n}{lim sup}{\mu }_n(F)\le \mu (F)$，所以极限也集中于 $F$。若约束集合不闭，这个结论可能失效，因为质量可以停在缺失的边界点上。

Portmanteau 定理是 Prokhorov 紧性理论的接口：紧集是闭集，因而弱收敛可控制其质量上界；对紧集的开邻域使用开集不等式，又能把极限测度的高质量核心传回序列。连续映射定理公理库连续映射定理Continuous mapping theorem · Mann–Wald theorem当可测映射的不连续点不承载极限概率时，沿它推前保留弱收敛；阈值映射说明边界质量为何决定成败。、经验分布收敛和随机过程有限维分布的极限识别也反复使用连续集版本。

在实线上，取 $A=(-\mathrm{\infty },x]$。其边界是 $\{x\}$，所以只要极限分布函数公理库分布函数Cumulative distribution function · CDF实值分布在每个阈值左侧累积的概率，是非降右连续且端点极限为零和一的函数。在 $x$ 连续，即 $\mu (\{x\})=0$，便有 $F_n(x)\to F(x)$。这正把一般度量空间的弱收敛还原为经典“分布函数在连续点收敛”的判据。

参考资料

• Jon A. Wellner, Chapter 11: Convergence in Distribution, §1, Theorem 1.1, pp. 4–7：开闭集、连续集与半连续积分的等价条件。

• Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measures, 2nd ed., Wiley, 1999, §2, the Portmanteau theorem.

• Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability, 3rd ed., Springer, 2021, Ch. 5, weak convergence criteria.

• R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, 2nd ed., Cambridge University Press, 2002, §11.3, convergence of probability measures.