测度的弱收敛

弱收敛不试图逐点比较测度值，而是把每个有界连续函数当作一台分辨率有限的仪器。仪器给出的读数是质量加权平均 $\int fd\mu$；所有这类读数都趋于一致时，测度在拓扑可观察的尺度上收敛。

连续性阻止测试函数在相邻点间突然翻转，因此移动很短距离的原子可以被视为接近；有界性则阻止极少量、极遥远的质量被一个迅速增长的函数无限放大。这两项限制共同解释弱收敛为何比总变差收敛宽松，也为何它不自动控制矩或尾部。

弱收敛仍然保留总质量，因为常数测试函数不会忽略任何地方。vague 收敛删掉这个全局探测器，只看紧支撑窗口；一团质量不断向远方移动时，每个固定窗口最终都看不见它，于是可能“收敛到零”。

一条贯穿定义、事件和映射的测度列 ​

令 $\lambda$ 是区间 $[1,2]$ 上的均匀概率。对 $n\ge 1$ 定义

这里一半质量是一枚不断向零移动的原子，另一半铺在固定区间上。要证明弱收敛，必须对任意 $f\in C_b(\mathbb{R})$ 验证定义，而不是挑几条函数试算。对这个例子，固定部分恰好抵消：

最后一步只用了 $f$ 在零点连续，因此 ${\mu }_n\Rightarrow \mu$。测度积分的变化在这里被化为两个邻近点上的函数值之差，直接展示了连续测试函数的作用。

把一台连续探针的读数算到底 ​

取全线有界连续的 $f(x)=x/(1+|x|)$。支撑都在非负半轴上，故

极限读数为 $L=\frac{1}{2}(1-\log \left(3/2\right))\approx 0.297267$，误差恰是 $1/[2(n+1)]$。

这些读数帮助看见收敛速度，但上面对任意 $f$ 的等式才证明了弱收敛。若将探针改为 ${\mathbf{1}}_{(0,3)}$，每个近似积分却为 $1$，极限积分为 $1/2$：这个探针在零点不连续，恰好能分辨正在贴近零的原子与已经落到零的原子。

Portmanteau 定理公理库Portmanteau 定理Portmanteau theorem · Portmanteau lemma · 移植定理把概率测度的弱收敛等价改写为开闭集不等式、半连续函数不等式与连续集上的测度收敛。会进一步算出这条序列在开集、闭集和连续集上的概率；连续映射定理公理库连续映射定理Continuous mapping theorem · Mann–Wald theorem当可测映射的不连续点不承载极限概率时，沿它推前保留弱收敛；阈值映射说明边界质量为何决定成败。则比较阈值 $0$ 与 $3/2$ 的输出分布。三种观察共享同一输入，却对边界提出不同条件。

总变差、无界矩与逃逸质量 ​

在 $\mathbb{R}$ 上，${\delta }_{1/n}\Rightarrow {\delta }_0$，因为每个 $f\in C_b(\mathbb{R})$ 都满足

然而两测度在总变差距离下始终相距 $1$：事件 $\{1/n\}$ 被前者赋值 $1$、后者赋值 $0$。弱收敛允许原子位置连续移动，总变差则允许用任意可测事件精确瞄准单点。

再令

对有界连续 $f$，

所以 ${\mu }_n\Rightarrow {\delta }_0$。但一阶矩恒为 $\int xd{\mu }_n=1$，并不趋于 $0$。函数 $x$ 连续却无界，不属于定义中的测试类；要交换无界函数积分还需一致可积性或矩控制。

令 ${\nu }_n={\delta }_n$。它对每个 $f\in C_c(\mathbb{R})$ 都满足 $\int fd{\nu }_n\to 0$，故 vague 收敛到零测度；却不可能作为概率测度弱收敛到零，因为常数函数给出的积分一直是 $1$。这个例子准确标出两种测试类的差别。

Portmanteau 定理公理库Portmanteau 定理Portmanteau theorem · Portmanteau lemma · 移植定理把概率测度的弱收敛等价改写为开闭集不等式、半连续函数不等式与连续集上的测度收敛。把连续函数积分定义等价改写成开集的下极限不等式、闭集的上极限不等式，以及极限测度边界为零的集合上的测度收敛。它让抽象的“所有函数”条件可以用事件概率验证，同时解释为什么任意 Borel 集上的逐集收敛通常过强。

在 Polish 空间上，Prokhorov 定理用紧性刻画概率测度族的弱相对紧性；Skorokhod 表示定理则可在新的共同概率空间中，把弱收敛实现为几乎必然收敛。二者都需要明确空间正则性，不能只凭可测结构成立。

经验测度、中心极限定理、随机过程近似与生成模型的分布收敛都使用弱拓扑。处处连续版本的连续映射定理公理库连续映射定理Continuous mapping theorem · Mann–Wald theorem当可测映射的不连续点不承载极限概率时，沿它推前保留弱收敛；阈值映射说明边界质量为何决定成败。可直接由推前公理库推前测度Pushforward measure · Image measure · 像测度沿可测映射把源测度搬到目标空间，使目标集合的质量等于其原像的质量。积分看出：若 $T:S\to Y$ 是度量空间之间的连续映射且 ${\mu }_n\Rightarrow \mu$，那么对任意 $g\in C_b(Y)$，$g\circ T\in C_b(S)$，于是 $T_{\mathrm{\#}}{\mu }_n\Rightarrow T_{\mathrm{\#}}\mu$。

弱收敛允许极少质量跑到很远的位置，因而不自动保证搬运距离趋零。Wasserstein 距离公理库Wasserstein 距离Wasserstein distance用最小平均搬运距离定义概率测度的度量，并用矩条件说明它比弱收敛多控制什么。的收敛在弱收敛之外还要求相应阶矩收敛，可以用一个权重趋零、位置趋远的原子例子精确看见这个差别。