推前测度

推前不追踪每个源点如何移动，而是问每个目标集合最终收到多少质量。要知道目标区域 $B$ 的质量，只需回到源空间查看哪些点被 $T$ 送进 $B$。多对一映射会把不同源点的质量合并，一对一映射则更像重新标记坐标。

随机变量的“分布”正是推前：样本空间上的概率通过取值映射 $X(\omega )$ 被送到状态空间。这样，期望公式 $\mathbb{E}[g(X)]=\int gd\mathcal{L}(X)$ 不是另一条偶然规则，而是推前积分公式的直接实例。

推前只保留目标可见的信息。若 $T$ 把整片区域压到同一点，源内部的几何和条件结构都会丢失；没有额外纤维数据，不能从 $T_{\mathrm{\#}}\mu$ 唯一恢复 $\mu$。反过来，disintegration 正是研究怎样在每条纤维上补回这部分信息。

令 $\mu$ 为 $[0,1]$ 上的均匀概率，$T(x)=x^2$。对 $0\le y\le 1$，推前分布函数为

所以它在 $(0,1)$ 上的密度是 $1/(2\sqrt{y})$。这个密度在 $0$ 附近无界却可积；直接把源密度“代入 $x=\sqrt{y}$”会漏掉 Jacobian 因子，原像公式则始终正确。

取目标空间为带 Borel $\sigma$-代数的实线。若 $T(x)=c$ 是常值映射且 $\mu (X)=1$，则 $T_{\mathrm{\#}}\mu ={\delta }_c$。于是无原子的源分布可以被推成原子分布，绝对连续性相对于目标 Lebesgue 测度不会由任意可测映射保留。若 $\mu (X)=\mathrm{\infty }$，同一推前在 $\{c\}$ 上取无穷质量；即使源测度是 Radon，这个目标测度也可能不再局部有限。

可测性不能省略。若存在 $B\in \mathcal{B}$ 使 $T^{-1}(B)\notin \mathcal{A}$，公式右侧没有定义，因而没有得到目标 $\sigma$-代数上的测度。连续映射在 Borel 空间之间可测，但只知道“几何上看起来平滑”仍应先核对两端实际采用的 $\sigma$-代数。

推前也不同于限制测度。限制 $\mu {|}_A$ 仍活在源空间，只丢弃 $A$ 外质量；推前改变了承载空间，并可能合并点。若 $T$ 可测双射但逆映射不可测，仅凭 $T_{\mathrm{\#}}\mu$ 仍不能在原可测结构中无损拉回。

随机元素 $X:(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},P)\to (S,\mathcal{S})$ 的律写成

联合分布是 $(X,Y{)}_{\mathrm{\#}}P$，边缘分布则由坐标投影再推前。弱收敛可以表述为一列推前概率测度对有界连续测试函数的积分收敛；统计量的抽样分布也是把样本分布沿统计量映射推前。

推前在每一个可测映射下都定义良好，但不总能与分布极限交换。连续映射定理公理库连续映射定理Continuous mapping theorem · Mann–Wald theorem当可测映射的不连续点不承载极限概率时，沿它推前保留弱收敛；阈值映射说明边界质量为何决定成败。给出的条件是：输入律 ${\mu }_n$ 弱收敛公理库测度的弱收敛Weak convergence of measures · Weak convergence of probability measures以所有有界连续测试函数的积分收敛来定义有限 Borel 测度的拓扑收敛。到 $\mu$，而 $T$ 的不连续点集不承载 $\mu$ 质量。这些条件保证 $T_{\mathrm{\#}}{\mu }_n\Rightarrow T_{\mathrm{\#}}\mu$。例如阈值映射 $T(x)={\mathbf{1}}_{\{x>0\}}$ 将每个 ${\delta }_{1/n}$ 推成 ${\delta }_1$，却把其弱极限 ${\delta }_0$ 推成 ${\delta }_0$；原像公式始终成立，失效的是交换极限这一步。

变量变换、直方图分箱、生成模型与动力系统都使用同一结构。若 $T_t$ 是流，$(T_t{)}_{\mathrm{\#}}{\mu }_0$ 描述质量随时间搬运；若 $q:X\to X/\sim$ 是商映射，$q_{\mathrm{\#}}\mu$ 把同一等价类的质量合并。Kolmogorov 扩张定理则反向提出问题：给定每个有限坐标投影应有的推前分布，能否构造一个共同的乘积空间测度。

取 ${\mathbb{R}}^d$（整数 $d\ge 1$）上的概率测度 $\mu ,\nu$。若在所有满足 $T_{\mathrm{\#}}\mu =\nu$ 的映射中最小化平方搬运成本，Brenier 定理公理库Brenier 定理Brenier theorem在绝对连续源和有限二阶矩条件下，平方成本最优计划由唯一的凸梯度映射给出。在源绝对连续、两侧二阶矩有限时保证最优计划由唯一的凸梯度映射实现。推前约束负责可行性，凸梯度结构才补上平方成本最优性。