更新计数的大数定律

部分和 $S_n$ 回答“完成 $n$ 次要花多久”，计数 $N(t)$ 回答“给定时间能完成几次”。若前者长期近似为斜率 $\mu$ 的直线，后者的长期斜率应为倒数。困难不在猜出倒数，而在说明随机的索引 $N(t)$ 可以放进大数定律，以及尚未完成的一段不会改变比例。

用夹逼完成反演 ​

强大数定律公理库强大数定律Law of large numbers · Strong law of large numbers · SLLN独立同分布且可积时，样本均值沿几乎每条无限样本路径收敛到共同期望。给出 $S_n/n\to \mu$。固定一条满足此收敛的路径；由于 $S_n\to \mathrm{\infty }$，其计数 $N(t)\to \mathrm{\infty }$。从

在 $N(t)>0$ 时除以 $N(t)$，得到

左右两端都趋于 $\mu$，所以中间也趋于 $\mu$，再取倒数得到结论。这里不是把随机索引误当成确定数：先在一条已知整个序列收敛的路径上工作，任何趋于无穷的索引子序列都继承该极限。

设备在每次更新时独立抽到两种寿命之一：以概率 $1/2$ 使用 $1$ 个时间单位，以概率 $1/2$ 使用 $2$ 个时间单位。平均周期为 $3/2$，因此长期更新率为 $2/3$。直接平均单周期的倒数却得到

它回答的是“随机抽一个周期时，周期速率的均值”，不是时间轴上的更新率。长周期占用更多时间，不能给每个周期速率同样的时间权重。

若 $X_n\equiv 2$，$N(t)=\lfloor t/2\rfloor$，结论照样成立；但长度小于 $2$ 的移动窗口里，更新数仍会随窗口位置跳动。这说明全局比值的收敛并没有抹去局部周期性，局部窗口需要Blackwell 更新定理公理库Blackwell 更新定理Blackwell renewal theorem在有限平均间隔及非格点条件下，远处固定时间窗的期望更新数趋于窗长除以平均间隔。另作分析。

若正间隔满足 $E{X}_1=\mathrm{\infty }$，仍有 $N(t)/t\to 0$ 几乎必然。证明可对 $X_i\wedge M$ 用强大数定律，得到 $lim inf{S}_n/n\ge E(X_1\wedge M)$，再令 $M\to \mathrm{\infty }$，使部分和的平均速度趋于无穷。此时没有正的有限长期更新率。

有限均值保证上述路径极限，却不保证正态涨落；例如尾部足够重而方差无穷的间隔不满足普通更新中心极限定理。若周期之间相关，本页的 IID 假设虽不成立，但只要另行证明 $S_n/n\to \mu >0$，同一条路径夹逼仍然可以使用。

周期计数给出单位时间完成多少个独立周期。若每个周期还携带收益，将每周期平均收益乘以此更新率，就得到更新报酬定理公理库更新报酬定理Renewal reward theorem把长期收益拆成每周期平均收益与单位时间周期数，允许周期长度和收益相关。的核心分解。要估计误差规模，则继续到更新中心极限定理公理库更新计数的中心极限定理Renewal central limit theorem把部分和的正态涨落反演为更新计数涨落，得到方差尺度 σ²t/μ³。，其中方差与额外的 $\mu$ 次幂来自反演尺度。